(14.2)
Раз волны амплитуды вероятности в кристалле ведут себя как частицы, то естественно ожидать, что общее квантовомеханическое описание частицы выявит такое же волновое поведение, какое мы наблюдали в решетке. Предположим, мы взяли одномерную решетку и вообразили, что постоянная решетки b становится все меньше и меньше. В пределе получилось бы, что электрон может оказаться в любой точке линии. Нам пришлось бы перейти к непрерывному распределению амплитуд вероятности. У электрона появилась бы амплитуда оказаться в любом месте линии. Таков был бы один из путей описания движения электронов в вакууме. Иными словами, если мы вообразим, что все пространство можно пронумеровать бесконечным числом очень тесно расположенных точек, и сможем вывести уравнения, связывающие между собой амплитуды в одной точке с амплитудами в соседних, то получим квантовомеханические законы движения электрона в пространстве.
Начнем с того, что напомним некоторые общие принципы квантовой механики. Пусть имеется частица, которая может в квантовомеханической системе существовать в разных условиях. Любые заданные условия, в которых может быть обнаружен электрон, мы называем «состоянием» и отмечаем их при помощи вектора состояния, скажем |φ>. В каких-то других условиях и метка будет другая, скажем вектор состояния |ψ>. Затем мы вводим идею о базисных состояниях. Мы говорим, что имеется совокупность состояний |1>, |2>, |3>, |4> и т. д., обладающая следующими свойствами. Во-первых, все эти состояния совершенно различны — мы говорим, что они ортогональны. Под этим мы понимаем, что для любой пары базисных состояний |i> и |j> равна нулю амплитуда <i|j> того, что электрон, будучи в состоянии |j>, окажется также и в состоянии <i|, если только, конечно, |i> и |j> не обозначают одного и того же состояния. Все это символически представляется так:
(14.3)
Вспомните, что δij=0, если i и j различны, и δij=1, если i и j одинаковые числа.
Далее, базисные состояния |i> обязаны быть полной совокупностью, так чтобы любое состояние могло быть выражено на их языке. Иначе говоря, любое состояние |φ> может быть полностью описано заданием всех амплитуд <i|φ> того, что частица в состоянии |φ> обнаружится также в состоянии |i>. Вектор состояния |φ> представляется суммой базисных состояний, умноженных каждое на коэффициент, являющийся амплитудой того, что состояние |φ> находится также в состоянии |i>:
(14.4)
Наконец, если рассмотреть любые два состояния |φ> и |ψ>, то амплитуду того, что состояние |ψ> окажется также в состоянии |φ>, можно найти, проецируя сперва состояние |ψ> на базисные состояния, а затем каждое из базисных состояний — на состояние |φ>. Это записывается так:
(14.5)
Суммирование, конечно, проводится по всей совокупности базисных состояний |i>.
В гл. 11, когда мы рассчитывали, что бывает с электроном, помещенным в линейную цепочку атомов, вы выбрали совокупность базисных состояний, в которых электрон был расположен близ того или иного из атомов цепочки. Базисное состояние |n> представляло электрон, локализованный (расположенный) возле атома номер n. (Конечно, неважно, обозначать ли наши базисные состояния |n> или |i>.) Чуть позже мы нашли, что базисные состояния удобнее метить координатой атома, а не номером атома в цепочке. Состояние |хn> — это просто другой способ записи состояния |n>. Тогда, следуя общему правилу, любое состояние |ψ> можно описать заданием того, что электрон в состоянии |ψ> находится также в одном из состояний |хn>. Для удобства мы решили обозначать эти амплитуды символом
(14.6)
Поскольку базисные состояния связаны с местоположением электрона на линии, то амплитуду Сn можно рассматривать как функцию координаты х и писать ее в виде С(хn). Амплитуды С(хn) будут в общем случае меняться во времени и поэтому суть также функции от t, но мы не будем отмечать эту зависимость явно.
Кроме того, в гл. 11 мы предположили, что амплитуды С(хn) обязаны меняться во времени так, как положено по гамильтонову уравнению (11.3). В нашем новом обозначении это уравнение имеет вид