(16.60)
где
(16.61)
Введем еще новые обозначения, они нам помогут в счете. Ну а поскольку мы уж определили состояния при помощи (16.60), то два числа r и s определяют состояние ничуть не хуже, чем j и m. Мы легче проследим за выкладками, если обозначим
(16.62)
где [см.. (16.61)]
Далее, (16.60) мы запишем, пользуясь специальным обозначением
(16.63)
Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на +1/2. Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз N=(r+s)!/r!s! слагаемых. Если сопоставить (16.63) с (16.60), то ясно, что
— это краткая запись выражения
где N — количество различных слагаемых в скобках. Эти обозначения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он получается в r-й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в s-й степени, в каком бы порядке эти знаки ни стояли.
Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси у на угол θ. Нас интересует Ry(θ)|rs>. Оператор Ry(θ), действуя на каждый |+>, дает
(16.64)
где С=cosθ/2 и S=sin θ/2. Когда же Ry(θ) действует на |->, это приводит к
Так что искомое выражение равно
(16.65)
Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. Появятся члены со всеми степенями |+> от нуля до r+s. Посмотрим, какие члены дадут r'-ю степень |+>. Они всегда будут сопровождаться множителем типа |->s', где s'=2j-r'. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа |+>r' |->s' с численными коэффициентами Аr', куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и S. Уравнение (16.65) тогда будет выглядеть так:
(16.66)
Теперь разделим каждое Аr' на множитель [(r'+s')!/r'!s'!]1/2 и обозначим частное через Вr. Тогда (16.66) превратится в
(16.67)
[Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет Br']
Если так определить Вr', то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раз состояниями|r's'>. Итак, имеем
(16.68)
где s' всегда равняется r+s-r'. А это, конечно, означает, что коэффициенты Вr' и есть искомые матричные элементы
(16.69)
Теперь, чтобы найти Br', остается немного: лишь пробиться через алгебру.
Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что r'+s'=r+s, мы видим, что Br' — это просто коэффициент при ar'bs' в выражении
(16.70)
Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному Ньютона и собрать члены с данными степенями а и b. Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при аr'bs' в (16.70) имеет вид
(16.71)
Сумма берется по всем целым k, при которых аргументы факториалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выражение и есть искомый матричный элемент.
В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначениям j, m и m', пользуясь формулами
Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из § 4.
Добавление 2. Сохранение четности при испускании фотона
В § 1 мы рассмотрели испускание света атомом, который переходит из возбужденного состояния со спином 1 в основное состояние со спином 0. Если спин возбужденного состояния направлен вверх (m=+1), то атом может излучить вверх вдоль оси +z правый фотон или вдоль оси -z левый. Обозначим эти два состояния фотона |Rвв> и |Lвн>. Ни одно из них не обладает определенной четностью. Если оператор четности обозначить ^P, то ^P|Rвв>=|Lвн> и ^P|Lвн>=|Rвв>.