Угловые функции в таблице проходят под несколькими именами и определяются порой с небольшими вариациями в численных множителях, стоящих впереди. Иногда их называют «сферические гармоники» и обозначают Yl,m(θ,φ). Иногда их пишут Рlm(cosθ)eimφ, а при m=0 просто Рl(cosθ). Функции Pl(cosθ) называются «полиномы Лежандра» по cosθ, а функции Plm(cosθ) именуют «присоединенными функциями Лежандра». Таблицы этих функций встречаются во многих книгах.
Обратите, кстати, внимание, что все функции с данным l имеют одну и ту же четность — при нечетных l они от инверсии меняют свой знак, при четных l — нет. Поэтому можно написать, что четность состояния с орбитальным моментом l равна (-1)l.
Как мы видели, одни и те же угловые распределения могут относиться к разным вещам: к ядерному распаду, к другим ядерным процессам, к распределению амплитуд наблюдения электрона в том или ином месте атома водорода. Например, если электрон находится в р-состоянии (l=1), то амплитуда того, что он обнаружится в каком-то месте, зависит от угла определенным образом, но всегда представляет собой линейную комбинацию трех функций для l=1 из табл. 17.1. Возьмем очень интересный случай cosθ. Он означает, что амплитуда, скажем, положительна в верхней части (θ<π/2), отрицательна в нижней (θ>π/2) и равна нулю при θ=90°. Возводя ее в квадрат, видим, что вероятность встретить электрон меняется с θ так, как показано на фиг. 17.5, и не зависит от φ.
Фиг. 17.5. График cos2θ в полярных координатах, дающий относительную вероятность обнаружения электрона под различными углами к оси z (для данного r) в состоянии атома с l=1 и m=0.
Такое угловое распределение ответственно за то, что в молекулярной связи притяжение электрона в состоянии l=1 к другому атому зависит от направления. Отсюда ведет свое начало направленная валентность химического притяжения.
§ 4. Общее решение для водорода
В уравнении (17.35) мы записали волновые функции атома водорода в виде
(17.37)
Эти волновые функции должны быть решениями дифференциального уравнения (17.7). Посмотрим, что это означает. Подставим (17.37) в (17.7); получим
(17.38)
Помножим все на r2/Fl и переставим члены; результат будет таков:
(17.39)
Левая часть этого уравнения зависит от θ и φ, а от r не зависит. Какое бы значение r мы ни взяли, от этого левая часть не изменится. Значит, то же должно быть выполнено и для правой части. Хотя в выражении в квадратных скобках там и сям попадаются разные r, все выражение от r зависеть не может, иначе бы не получилось уравнение, которое годится для всех r. Кроме того, как вы видите, эта скобка не зависит ни от θ, ни от φ. Она должна быть постоянным числом. Его величина имеет право зато зависеть от значения l того состояния, которое мы изучаем, поскольку этому состоянию принадлежит функция Fl; поэтому постоянное число мы обозначим Kl. Уравнение (17.35), стало быть, равнозначно двум уравнениям