и записью
Первый способ нагляднее. Но если вам понадобятся числа, вы наверняка зададите сперва компоненты относительно некоторой системы осей. Точно так же, если вы хотите дать понять, что за штука А, вам нужно быть готовыми задать матрицу Аij через некоторую совокупность базисных состояний. И пока вы имеете в виду определенную совокупность чисел Aij, уравнение (18.2) означает то же, что и (18.3). (И нужно еще помнить, что если уж вы знаете матрицу для одной частной совокупности базисных состояний, то всегда сможете подсчитать матрицу, соответствующую любому другому базису. Матрицу всегда можно преобразовать от одного представления к другому.)
Операторное уравнение (18.2) допускает и другие возможности. Если мы представили себе некоторый оператор А, то его можно применить к любому состоянию |ψ> и он создаст новое состояние ^A |ψ>. Временами получаемое таким путем «состояние» может оказаться очень своеобразным — оно может уже не представлять собой никакой физической ситуации, с которой можно встретиться в природе. (Например, может получиться состояние, которое не нормировано на вероятность получить один электрон.) Иными словами, временами мы можем получить «состояния», которые есть математически искусственные образования. Эти искусственные «состояния» могут все равно оказаться полезными, чаще всего в каких-либо промежуточных вычислениях.
Мы уже приводили много примеров квантовомеханических операторов. Встречался нам оператор поворота ^Rу(θ), который, взяв состояние |ψ>, делает из него новое состояние, представляющее собой старое состояние с точки зрения повернутой системы координат. Встречался оператор четности (или инверсии) ^P, создающий новое состояние обращением всех координат. Встречались и операторы ^σх, ^σу и ^σz для частиц со спином 1/2.
Оператор ^Jz определялся в гл. 15 через оператор поворота на малые углы ε:
(18.5)
Это, конечно, попросту означает, что
(18.6)
В этом примере ^Jz|ψ> — это умноженное на ℏ/iε состояние, получаемое тогда, когда вы повернете |ψ> на малый угол ε и затем вычтете прежнее состояние. Оно представляет «состояние», являющееся разностью двух состояний.
Еще один пример. Мы имели оператор ^pх, он назывался оператором (x-компоненты) импульса и определялся уравнением, похожим на (18.6). Если ^Dx(L) — оператор, который смещает состояние вдоль х на длину L, то ^pх определялось так:
(18.7)
где δ — малое смещение. Смещение состояния |ψ> вдоль оси х на небольшое расстояние δ дает новое состояние |ψ'>. Мы говорим, что это новое состояние есть старое состояние плюс еще новый кусочек
Операторы, о которых мы говорим сейчас, действуют на вектор состояния, скажем на |ψ>, являющийся абстрактным описанием физической ситуации. Это совсем не то, что алгебраические операторы, действующие на математические функции. Например, d/dx это «оператор», действие которого на f(x) создает из f(x) новую функцию f'(x)=df/dx. Другой пример алгебраического оператора — это ∇2. Можно понять, отчего в обоих случаях пользуются одним и тем же словом, но нужно помнить, что это разные типы операторов. Квантовомеханический оператор А действует не на алгебраическую функцию, а на вектор состояния, скажем на |ψ>. В квантовой механике употребляются и те и другие операторы, и часто, как вы увидите, в уравнениях сходного типа.
Когда вы впервые изучаете предмет, то все время надо иметь в виду эту разницу. А позднее, когда предмет вам станет ближе, вы увидите, что не так уж важно делать резкое различие между одними операторами и другими. И во многих книгах, как вы убедитесь, оба типа операторов обозначаются одинаково!
Теперь нам пора продвинуться вперед и узнать о многих полезных вещах, которые можно проделывать с помощью операторов. Но для начала небольшое замечание. Пускай у нас имеется оператор ^A, матрица которого в каком-то базисе есть Aij≡<i|^A|j>. Амплитуда того, что состояние ^A|ψ> находится также в некотором другом состоянии |φ>, есть <φ|^A|ψ>. Имеет ли смысл комплексное сопряжение этой амплитуды? Вы, вероятно, сможете показать, что