(18.44)
Тогда получится
(18.45)
что очень похоже на то, что мы имели для <x>ср.
При желании можно продолжить ту же игру, которой мы предавались с <x>ср. Во-первых, этот интеграл можно записать так:
(18.46)
Теперь вы должны узнать в этом уравнении разложение амплитуды <ψ|β> — разложение по базисным состояниям с определенным импульсом. Из (18.45) следует, что состояние |β> определяется в импульсном представлении уравнением
(18.47)
Иначе говоря, теперь можно писать
(18.48)
причем
(18.49)
где оператор ^p определяется на языке p-представления уравнением (18.47).
[И опять при желании можно показать, что матричная запись ^p такова:
(18.50)
и что
(18.51)
Выводится это так же, как и для х.
Теперь возникает интересный вопрос. Мы можем написать <р>ср так, как мы это сделали в (18.45) и (18.48); смысл оператора ^p в импульсном представлении нам тоже известен. Но как истолковать ^p в координатном представлении? Это бывает нужно знать, если у нас есть волновая функция ψ(x) и мы собираемся вычислить ее средний импульс. Позвольте более четко пояснить, что имеется в виду. Если мы начнем с того, что зададим <p>cp уравнением (18.48), то это уравнение можно будет разложить по p-представлению и вернуться к (18.45). Если нам задано p-представление состояния, а именно амплитуда <p|ψ> как алгебраическая функция импульса p, то из (18.47) можно получить <p|β> и продолжить вычисление интеграла. Вопрос теперь в следующем: а что делать, если нам задано описание состояния в x-представлении, а именно волновая функция ψ(x)=<x|ψ>?
Ну что ж, начнем раскладывать (18.48) в x-представлении.
Напишем
(18.52)
Но теперь надо знать другое: как выглядит состояние |β> в x-представлении. Если мы узнаем это, мы сможем взять интеграл. Итак, наша задача — найти функцию β(x)=<x|β>. Ее можно найти следующим образом. Мы видели в гл. 14, § 3, как <р|β> связано с <x|β>. Согласно уравнению (14.24),
(18.53)
Если нам известно <р|β>, то, решив это уравнение, мы найдем <x|β>. Но результат, конечно, следовало бы как-то выразить через ψ(x)=<x|ψ>, потому что считается, что именно эта величина нам известна. Будем теперь исходить из (18.47) и, опять применив (14.24), напишем
(18.54)
Интеграл берется по х, поэтому р можно внести под интеграл
(18.55)
Теперь сравним это с (18.53). Может быть, вы подумали, что <x|β> равно pψ(x)? Нет, напрасно! Волновая функция <х|β>=β(x) может зависеть только от х, но не от р. В этом-то вся трудность.
К счастью, кто-то заметил, что интеграл в (18.55) можно проинтегрировать по частям. Производная e-ipx/ℏ по х равна (-i/ℏ)pe-ipx/ℏ, поэтому интеграл (18.55) это все равно, что
Если это проинтегрировать по частям, оно превратится в
Пока речь идет только о связанных состояниях, ψ(x) стремится к нулю при х→±∞, скобка равна нулю и мы имеем
(18.56)
А вот теперь сравним этот результат с (18.53). Вы видите, что
(18.57)
Все необходимое, чтобы взять интеграл в (18.52), у нас уже есть. Окончательный ответ таков:
(18.58)
Мы узнали, как выглядит (18.48) в координатном представлении. Перед нами начинает постепенно вырисовываться интересная картина. Когда мы задали вопрос о средней энергии состояния |ψ>, то ответ был таков:
То же самое в координатном мире записывается так:
Здесь ^ℋ — алгебраический оператор, который действует на функцию от х.
Когда мы задали вопрос о среднем значении х, то тоже обнаружили, что ответ имеет вид
