Для следующего шага нужно еще немного информации. Пусть мы добавили третий прибор (назовем его U), стоящий вслед за Т под каким-то произвольным углом (фиг. 4.3, а).
Фиг. 4.3. Если Т «открыт до отказа», то б эквивалентно а.
(Все это начинает выглядеть устрашающе, но в этом-то и прелесть отвлеченного мышления: самые сверхъестественные опыты можно ставить, просто проводя новые линии!) Что же представляет собой преобразование S→Т→U? Фактически нас интересует амплитуда перехода из некоторого состояния по отношению к S к некоторому другому состоянию по отношению к U, если известны преобразования от S к Т и от Т к U. Поинтересуемся сперва опытом, в котором в Т открыты оба канала. Ответ можно получить, дважды подряд применяя (4.5). Для перехода от S-представления к T-представлению имеем
(4.6)
где верхние индексы TS нужны, чтобы отличать это R от RUT, когда мы будем переходить от Т к U.
Обозначая амплитуды появления атома в базисных состояниях представления U через C"k, можно связать их с T-амплитудами, применяя (4.5) еще раз; получим
(4.7)
Теперь можно из (4.6) и (4.7) получить преобразование от S прямо к U. Подставляя С'j из (4.6) в (4.7), имеем
(4.8)
Или, поскольку в RUTkj отсутствует i, можно поставить суммирование по i впереди и написать
(4.9)
Это и есть формула двойного преобразования.
Заметьте, однако, что, пока пучки в Т не загораживаются, состояния на выходе из Т те же, что и при входе в него. Мы могли бы с равным успехом делать преобразования из S-представления прямо в представление U. Это значило бы, что прибор U поставлен прямо за S, как на фиг. 4.3, б. В этом случае мы бы написали
где RUSki — коэффициенты, принадлежащие этому преобразованию. Но ясно, что (4.9) и (4.10) должны приводить к одинаковым амплитудам С"k, причем независимо от того, каково было то начальное состояние φ, которое снабдило нас амплитудами Сi. Значит, должно быть
(4.11)
Иными словами, для любого поворота S→U базиса, если рассматривать его как два последовательных поворота S→Т и Т→U, можно получить матрицу поворота RUSki из матриц двух частных поворотов при помощи формулы (4.11). Если угодно, (4.11) следует прямо из (4.1) и представляет собой лишь другую запись формулы:
Для полноты добавим еще следующее. Но не думайте, что это будет что-то страшно важное; если хотите, переходите, не читая, прямо к следующему параграфу. Надо сознаться, что то, что мы сказали, не совсем верно. Мы не можем на самом деле утверждать, что (4.9) и (4.10) обязаны привести к абсолютно одинаковым амплитудам. Одинаковыми должны оказаться только физические результаты; сами же амплитуды могут отличаться на общий фазовый множитель типа eiδ, не меняя результатов никаких расчетов, касающихся реального мира. Иначе говоря, вместо (4.11) единственное, что можно утверждать, — это