Раз базисные векторы еi перпендикулярны друг другу, то существует соотношение
(6.3)
Это соответствует соотношению (3.25) между базисными состояниями i
(6.4)
Теперь вы понимаете, почему говорят, что базисные состояния i все «ортогональны друг другу».
Между (6.1) и скалярным произведением есть одно минимальное различие. У нас
(6.5)
а в векторной алгебре
В квантовой механике с ее комплексными числами мы обязаны выдерживать порядок множителей, а в скалярном произведении порядок неважен.
Теперь рассмотрим такое векторное уравнение:
(6.6)
оно немножко необычно, но тем не менее верно. И означает оно то же самое, что и
(6.7)
Заметьте, однако, что в (6.6) входит величина, отличная от скалярного произведения. Скалярное произведение — это просто число, а (6.6) — векторное уравнение. Одним из великих приемов векторного анализа было абстрагировать от уравнений идею самого вектора. Равным образом можно попытаться абстрагировать от уравнения (6.1) то, что в квантовой механике является аналогом «вектора». И это действительно можно сделать. Уберем <χ| по обе стороны (6.1) и напишем такое уравнение (не пугайтесь — это просто обозначение, и через пару минут вы узнаете, что означают эти символы):
(6.8)
Скобку <χ|φ> представляют себе состоящей из двух половинок. Вторую половинку |φ> называют кет, а первую <χ| называют брэ (поставленные рядом они образуют брэ-кет≡bгаcket, скоб-ка≡скобка — обозначение, предложенное Дираком); полусимволы <χ| и |φ> также называют векторами состояний. Это не числа отнюдь, а нам вообще-то нужно, чтобы результаты наших расчетов выражались числами; стало быть, такие «незаконченные» величины представляют собой промежуточные шаги в расчетах.
До сих пор мы все свои результаты выражали с помощью чисел. Как же мы умудрялись избегать векторов? Забавно, что даже в обычной векторной алгебре можно сделать так, чтобы во все уравнения входили только числа. Например, вместо векторного уравнения типа
всегда можно написать
Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора С. Но если оно верно для любого С, то едва ли имеет смысл вообще писать это С!
Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых χ. Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать χ и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравнение снабдит нас той же самой информацией, лишь бы мы понимали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т. е. просто дописав некоторое <χ| по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1), — ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то <χ|, которое вам нужно.
Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на φ? Раз (6.8) справедливо при любом φ, зачем же нам его держать? И действительно, Дирак предлагает абстрагироваться и от φ, так что остается только
(6.9)
Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния χ и φ с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.
§ 2. Разложение векторов состояний
Посмотрим на уравнение (6.8) еще раз; его можно рассматривать следующим образом. Любой вектор состояния |φ> может быть представлен в виде линейной комбинации совокупности базисных «векторов» с подходящими коэффициентами, или, если угодно, в виде суперпозиции «единичных векторов» в подходящих пропорциях. Чтобы подчеркнуть, что коэффициенты <i|φ> — это просто обычные (комплексные) числа, напишем