Пусть проводник представляет собой большую сферу. Изменим форму полусферы так, что её поверхность будет несколько больше, чем полусфера, и будет встречать поверхность сферы под прямыми углами. Тогда мы имеем случай, для которого мы уже получили точное решение (см. п. 168).
Если 𝐴 и 𝐵 - центры двух сфер, пересекающих друг друга под прямыми углами, 𝐷𝐷' - диаметр круга, по которому они пересекаются, а 𝐶 - центр этого круга, тогда, если 𝑉 есть потенциал проводника, внешняя поверхность которого совпадает с поверхностью этих двух сфер, количество электричества на внешней поверхности, принадлежащей сфере 𝐴, равно
½𝑉
(𝐴𝐷
+
𝐵𝐷
+
𝐴𝐶
-
𝐶𝐷
-
𝐵𝐶)
,
а количество электричества на внешней поверхности, принадлежащей сфере 𝐵, равно
½𝑉
(𝐴𝐷
+
𝐵𝐷
+
𝐵𝐶
-
𝐶𝐷
-
𝐴𝐶)
,
причём полный заряд равен сумме этих величин, или
𝑉
(𝐴𝐷
+
𝐵𝐷
-
𝐶𝐷)
.
Если радиусы сфер равны α и β, тогда, если радиус α велик в сравнении с β, заряд на сфере 𝐵 относится к заряду на сфере 𝐴 как
3β²
4α²
⎛
⎜
⎝
1+
1
3
⋅
β
α
+
1
6
⋅
β²
α²
+ и т.д.
⎞
⎟
⎠
относится к единице.
Пусть теперь σ обозначает однородную поверхностную плотность на 𝐴 после удаления 𝐵. Тогда заряд на 𝐴 равен 4πα²σ и поэтому заряд на 𝐵 равен
3πβ²σ
⎛
⎜
⎝
1+
1
3
⋅
β
α
+ и т.д.
⎞
⎟
⎠
,
т.е., если радиус β очень мал в сравнении с α, заряд на полусфере 𝐵 в три раза превышает такой заряд, который при поверхностной плотности заряда а содержался бы на площади, равной площади кругового основания полусферы.
Из п. 175 следует, что если малая сфера приводится в соприкосновение с электризованным телом, а затем удаляется от него на некоторое расстояние, средняя плотность заряда на сфере относится к плотности заряда на теле в точке соприкосновения как π² относится к 6 или как 1,641 к 1.
225. Наиболее удобная форма для пробной плоскости - это форма круглого диска. Поэтому мы покажем, как измерять заряд на таком диске, положенном на электризованную поверхность. Для этой цели мы построим такую потенциальную функцию, у которой одна из эквипотенциальных поверхностей напоминала бы круговую выпуклость с плоской вершиной, схожую по своей общей форме с диском, лежащим на плоскости.
Пусть σ - поверхностная плотность на плоскости; эту плоскость мы примем за плоскость 𝑥𝑦.
Потенциал, отвечающий этой электризации, будет 𝑉=-4πσ𝑧.
Пусть теперь два диска радиуса 𝑎 жёстко наэлектризованы с плотностями заряда +σ' и -σ'. Пусть первый из них помещён на плоскость центром в начало координат, а второй - параллельно ему на очень малом расстоянии 𝑐.
Тогда можно показать, как мы в этом убедимся в теории магнетизма, что потенциал этих двух дисков в любой точке равен ωσ'𝑐 где ω есть телесный угол с вершиной в этой точке, опирающейся на края любого из дисков. Таким образом, потенциал всей системы будет 𝑉=-4πσ𝑧+σ'𝑐ω.
Формы эквипотенциальных поверхностей и линий индукции даны на левой стороне рис. XX в конце второго тома.
Обратим внимание на форму поверхности, для которой 𝑉=0. Эта поверхность проведена пунктиром.
Обозначим через 𝑟 расстояние любой точки от оси 𝑧. Тогда для значений 𝑟, много меньших, чем 𝑎, и для малых 𝑧 находим ω=2π-2π(𝑧/𝑎)+ и т. д.
Таким образом, для значений 𝑧, много меньших, чем 𝑎, уравнение нулевой эквипотенциальной поверхности имеет вид
0
=
-4πσ𝑧
+
2πσ'𝑐
-
2πσ'
𝑧0𝑐
𝑎
+ и т.д.,
или
𝑧
0
=
σ'𝑐
.
2σ+σ'
𝑐
𝑎
Следовательно, эта эквипотенциальная поверхность вблизи оси является почти плоской.
Вне диска, где величина 𝑟 много больше, чем 𝑎, телесный угол ω равен нулю при 𝑧=0, так что плоскость 𝑥𝑦 представляет собой часть эквипотенциальной поверхности.
Чтобы выяснить, где встречаются эти две части поверхности, найдём, в какой точке этой плоскости 𝑑𝑉/𝑑𝑧=0.
Если величина 𝑟 очень близка к 𝑎, телесный угол ω становится приблизительно сферическим двуугольником на сфере единичного радиуса. Угол этого двуугольника равен arctg[𝑧/(𝑟-𝑎)] и, следовательно, ω=2 arctg[𝑧/(𝑟-𝑎)]. Поэтому при 𝑧=0 выполняется приблизительное равенство