Рассмотрим теперь проводник, сделанный из того же материала и имеющий форму призмы, длина которой равна 𝑙, а площадь поперечного сечения равна единице. Такой проводник эквивалентен 𝑙 кубам, расположенным последовательно. Его сопротивление поэтому равно 𝑙ρ.
Наконец, рассмотрим проводник длины 𝑙 имеющий постоянное поперечное сечение 𝑠. Он эквивалентен 𝑠 проводникам, подобным рассмотренному ранее и образующих многократное (параллельное) соединение. Поэтому сопротивление такого проводника равно 𝑅=𝑙ρ/𝑠 Если мы знаем сопротивление однородного провода, мы можем определить удельное сопротивление материала, из которого он изготовлен, если мы можем измерить его длину и сечение.
Площадь поперечного сечения тонких проволочек точнее всего определяется путём вычисления по длине, весу и удельному весу образца. Определение удельного веса иногда оказывается неудобным, и в таких случаях используется сопротивление проволоки единичной длины и единичной массы, называемое удельным сопротивлением на единицу веса.
Если 𝑟 - удельное сопротивление на единицу веса, 𝑙 - длина и 𝑚 - масса проволоки, то 𝑅=𝑙²𝑟/𝑚.
О размерностях величин, входящих в эти уравнения
278. Сопротивление проводника равно отношению действующей на проводник электродвижущей силы к производимому ею току. Проводимость проводника есть величина, обратная сопротивлению, или, другими словами, отношение тока к создающей этот ток электродвижущей силе.
Мы знаем, что в электростатической системе единиц отношение количества электричества, распределённого на некотором проводнике, к потенциалу этого проводника есть ёмкость проводника, измеряемая длиной. Если проводник представляет собой сферу, помещённую в безграничное поле, эта длина равна радиусу сферы. Поэтому отношение количества электричества к электродвижущей силе является длиной. Отношение же количества электричества к току есть время, в течение которого течёт ток, переносящий это количество электричества. Поэтому отношение тока к электродвижущей силе есть отношение длины к времени, иными словами, скорость.
В том, что проводимость в электростатической системе единиц имеет размерность скорости, можно убедиться, предположив, что сфера радиуса 𝑟, заряжена до потенциала 𝑉, а затем соединена с Землёй при помощи данного проводника. Пусть сфера сжимается, так что электричество уходит по проводнику, а потенциал сферы остаётся постоянным и равным 𝑉. Тогда заряд на сфере в любой момент времени равен 𝑟𝑉 а ток равен -𝑑/𝑑𝑟⋅(𝑟𝑉). Поскольку значение 𝑉 поддерживается постоянным, ток равен -𝑑𝑟/𝑑𝑟⋅𝑉, причём электродвижущая сила, вызывающая ток, равна 𝑉.
Проводимость проводника равна отношению тока к электродвижущей силе, или -𝑑𝑟/𝑑𝑟 т.е. скорости, с которой должен уменьшаться радиус сферы для того, чтобы потенциал её сохранял постоянное значение, по мере того как заряд уходит в Землю по проводнику.
Таким образом, в электростатической системе проводимость проводника есть скорость, и, следовательно, имеет размерность [𝐿-1𝑇].
Стало быть, сопротивление проводника имеет размерность [𝐿-1𝑇]. Удельное сопротивление на единицу объёма имеет размерность [𝑇], а удельная проводимость на единицу объёма имеет размерность [𝑇-1].
Численное значение этих коэффициентов зависит только от выбора единицы времени, которая в разных странах одна и та же.
Удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [𝐿-3𝑀𝑇].
279. В дальнейшем мы увидим, что в электромагнитной системе единиц сопротивление проводника выражается скоростью, так что в этой системе сопротивление проводника имеет размерность [𝐿𝑇-1].
Проводимость проводника, разумеется, равна обратной величине.
Удельное сопротивление на единицу объёма имеет в этой системе единиц размерность [𝐿2𝑇-1], а удельное сопротивление на единицу веса имеет размерность [𝐿-1𝑇-1𝑀].
Линейная система проводников в общем случае
280. Наиболее общий случай линейной системы представляет собой 𝑛 точек 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛, соединённых между собой попарно с помощью 𝑛(𝑛-1)/2 линейных проводников. Пусть проводимость (или величина, обратная сопротивлению) проводника, который соединяет любую пару точек, скажем точки 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞, обозначена через 𝐾𝑝𝑞 Ток от точки 𝐴𝑝 к точке 𝐴𝑞 обозначим через 𝐶𝑝𝑞. Пусть электрические потенциалы в точках 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞 равны 𝑃𝑝 и 𝑃𝑞 соответственно, а внутренняя электродвижущая сила (если она есть), которая действует вдоль проводника от точки 𝐴𝑝 к точке 𝐴𝑞, равна 𝐸𝑝𝑞.