Ток от 𝐴𝑝 к 𝐴𝑞 по закону Ома равен
𝐶
𝑝𝑞
=
𝐾
𝑝𝑞
(𝑃
𝑝
-𝑃
𝑞
+𝐸
𝑝𝑞
)
.
(1)
Для этих величин мы имеем следующий набор соотношений.
Проводимость какого-либо проводника та же самая в любом направлении, или
𝐾
𝑝𝑞
=
𝐾
𝑞𝑝
.
(2)
Электродвижущая сила и ток является направленными величинами, т. е.
𝐸
𝑝𝑞
=
-
𝐸
𝑞𝑝
и
𝐶
𝑝𝑞
=
-
𝐶
𝑞𝑝
.
(3)
Пусть 𝑃1, 𝑃2, …, 𝑃𝑛 - значения потенциалов в точках 𝐴1, 𝐴2, …, 𝐴𝑛 соответственно, a 𝑄1, 𝑄2, …, 𝑄𝑛 - соответственные количества электричества, которые поступают в систему за единицу времени через эти точки. Эти величины с необходимостью подчиняются условию «непрерывности»
𝑄
1
+
𝑄
2
+…+
𝑄
𝑛
=
0,
(4)
поскольку электричество не может неограниченно нарастать, а равно и производиться внутри системы.
Условие «непрерывности» в любой точке 𝐴𝑝 есть
𝑄
𝑝
=
𝐶
𝑝1
+
𝐶
𝑝2
+…+ и т.д.
𝐶
𝑝𝑛
.
(5)
Подставляя значение токов из соотношения (1), получим
𝑄
𝑝
=
(
𝐾
𝑝1
+
𝐾
𝑝2
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
)
𝑃
𝑝
-
-
(
𝐾
𝑝1
𝑃
1
+
𝐾
𝑝2
𝑃
2
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
𝑃
𝑛
)
+
+
(
𝐾
𝑝1
𝐸
𝑝1
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
𝐸
𝑝𝑛
).
(6)
Символ 𝐾𝑝𝑝 в это уравнение не входит. Поэтому мы можем принять
𝐾
𝑝𝑝
=-(
𝐾
𝑝1
+
𝐾
𝑝2
+
𝐾
𝑝𝑛
),
(7)
т.е. считать, что величина 𝐾𝑝𝑝 равна, а знак противоположен сумме проводимостей всех проводников, сходящихся к точке 𝐴𝑝 Тогда можем написать соотношение непрерывности для точки 𝐴𝑝 в виде
𝐾
𝑝1
𝑃
1
+
𝐾
𝑝2
𝑃
2
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑝
𝑃
𝑝
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
𝑃
𝑛
=
=
𝐾
𝑝1
𝐸
1
+ и т.д. +
𝐾
𝑝𝑛
𝐸
𝑛
-
𝑄
𝑝
.
(8)
Полагая в этом уравнении индекс 𝑝 равным поочерёдно 1,2 и т. д. 𝑛, мы получим 𝑛 уравнений одного и того же вида для определения 𝑛 потенциалов 𝑃1, 𝑃2, … 𝑃𝑛.
Однако если мы сложим все уравнения системы (8), мы получим тождественный нуль в соответствии с соотношениями (3), (4) и (7). Поэтому число независимых уравнений в системе (8) равно 𝑛-1. Этого будет достаточно для того, чтобы определить разности потенциалов между любой парой точек, но не абсолютные значения потенциалов в каждой точке. Однако этого и не требуется для определения токов в системе.
Если мы обозначим через 𝐷 определитель