⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝐾
11
,
𝐾
12
,
…,
𝐾
1(𝑛-1)
,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
,
𝐾
21
,
𝐾
22
,
…,
𝐾
2(𝑛-1)
,
…,
…,
…,
…,
𝐾
(𝑛-1)1
,
𝐾
(𝑛-1)2
,
…,
𝐾
(𝑛-1)(𝑛-1)
,
(9)
а через 𝐷𝑝𝑞 - минор элемента 𝐾𝑝𝑞, мы получим для величины 𝑃𝑝-𝑃𝑛 выражение
(𝑃
𝑝
-𝑃
𝑛
)𝐷
=
(𝐾
12
𝐸
12
+ и т.д. -𝑄
1
)𝐷
𝑝1
+
+
(𝐾
21
𝐸
21
+ и т.д. -𝑄
2
)𝐷
𝑝2
+ и т.д. +
+
(𝐾
𝑞1
𝐸
𝑞1
+ и т.д. +𝐾
𝑞𝑛
𝐸
𝑞𝑛
-𝑄
𝑞
)𝐷
𝑝𝑞
+ и т.д.
(10)
Тем же путём можно определить превышение потенциала любой другой точки, скажем 𝐴𝑞, над потенциалом точки 𝐴𝑛. После этого мы можем определить ток между точками 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞 из уравнения (1) и тем самым полностью решить задачу.
281. Теперь мы продемонстрируем свойство взаимности любых двух проводников, входящих в систему, что соответствует уже рассмотренному в п. 86 свойству взаимности для статического электричества.
В выражении для потенциала 𝑃𝑝 коэффициент при 𝑄𝑞 равен -𝐷𝑝𝑞/𝐷. В выражении для 𝑃𝑞 коэффициент при 𝑄𝑝 равен -𝐷𝑞𝑝/𝐷.
Но величина 𝐷𝑝𝑞 отличается от 𝐷𝑞𝑝 только заменой символов, при которой все 𝐾𝑞𝑝 переходят в 𝐾𝑝𝑞. Как следует из соотношения (2), эти две последние величины равны друг другу, поскольку проводимость проводника одна и та же для обоих направлений. Поэтому
𝐷
𝑝𝑞
=
𝐷
𝑞𝑝
.
(11)
Отсюда следует, что та часть потенциала в точке 𝐴𝑝 которая обусловлена введением единичного тока в точку 𝐴𝑞, равна той части потенциала в точке 𝐴𝑞, которая обусловлена введением одиночного тока в точку 𝐴𝑝.
Отсюда можно вывести некоторое предложение более практического вида.
Пусть 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 - любые четыре точки системы, и пусть ток 𝑄 входит в систему через точку 𝐴 и выходит через точку 𝐵, создавая превышение потенциала в точке 𝐶 над потенциалом в точке 𝐷 на величину 𝑃. Тогда, если сделать так, что такой же по величине ток 𝑄 будет входить в систему через точку 𝐶 и выходить через точку 𝐷, то потенциал в точке 𝐴 будет превышать потенциал в точке 𝐵 на ту же самую величину 𝑃.
Если ввести электродвижущую силу 𝐸, действующую на проводник от 𝐴 к 𝐵, и если эта электродвижущая сила вызывает ток 𝐶 от 𝑋 к 𝑌, то та же самая электродвижущая сила 𝐸, введённая в проводник в направлении от 𝑋 к 𝑌, вызовет точно такой же ток 𝐶 от 𝐴 к 𝐵.
Источником электродвижущей силы 𝐸 может быть вольтова батарея, введённая между названными точками, следует только позаботиться о том, чтобы после подключения батареи сопротивление проводника не изменилось.
282 а. Если электродвижущая сила 𝐸𝑝𝑞 действует вдоль проводника 𝐴𝑝𝐴𝑞, легко найти ток, возникающий при этом в другом проводнике системы 𝐴𝑝𝐴𝑠:
𝐾
𝑟𝑠
𝐾
𝑝𝑞
𝐸
𝑟𝑠
(
𝐷
𝑟𝑝
+
𝐷
𝑠𝑞
-
𝐷
𝑟𝑝
-
𝐷
𝑠𝑝
)/
𝐷
.
Ток равен нулю, если
𝐷
𝑟𝑝
+
𝐷
𝑠𝑞
-
𝐷
𝑟𝑝
-
𝐷
𝑠𝑝
=
0.
(12)
Но в силу (11) то же самое уравнение справедливо и в том случае, когда при наличии электродвижущей силы вдоль 𝐴𝑟𝐴𝑠 ток в проводнике 𝐴𝑝𝐴𝑞 равен нулю. Вследствие такого свойства взаимности два проводника, к которым оно относится, называются сопряжёнными.