Теория сопряжённых проводников была исследована Кирхгофом. Он сформулировал законы для линейной системы следующим образом, обходя рассмотрение потенциала.
1. (Условие «непрерывности»). В любой точке системы сумма всех токов, текущих к этой точке, равна нулю.
2. В любом замкнутом контуре, образованном проводниками, сумма электродвижущих сил, действующих в контуре, равна сумме произведений тока в каждом проводнике на его сопротивление.
Мы получаем этот результат, складывая уравнения вида (1) для замкнутого контура, когда потенциалы с необходимостью исчезают.
282 б1. Если проводники образуют простую сеть и мы предполагаем, что в каждой её ячейке циркулирует некоторый ток, тогда в том проводнике, который является общим для двух соседних ячеек, ток будет равен разности токов, циркулирующих в этих двух ячейках, причём токи считаются положительными, если они циркулируют в направлении против часовой стрелки. Для этого случая легко доказать следующее утверждение. Пусть 𝑥 - величина тока, 𝐸 - электродвижущая сила и 𝑅 - полное сопротивление в любой ячейке. Пусть, далее, 𝑦, 𝑧, … - токи, циркулирующие в соседних ячейках, имеющих общие проводники с той, в которой течёт ток 𝑥. Сопротивление этих общих проводников обозначим соответственно через 𝑠, 𝑡, …. Тогда
𝑅𝑥
-
𝑠𝑦
-
𝑡𝑧
- и т.д. =
𝐸
.
1 Извлечено из записей лекций профессора Максвелла мистером Дж. А. Флемингом, бакалавром искусств (Сент Джонс Колледж). См. также статью м-ра Флеминга. Phil. Mag., XX, р. 221, 1885 (примечание Нивена).
Для того чтобы проиллюстрировать, как используется это правило, мы возьмём устройство, известное под названием мостика Уитстона, и будем исходить из чертежа и обозначений, принятых в п. 347. Применяя это правило к случаю трёх контуров 𝑂𝐵𝐶, 𝑂𝐶𝐴 и 𝑂𝐴𝐵 в которых циркулируют токи 𝑥, 𝑦, 𝑧 соответственно, мы получим три уравнения, а именно
(𝑎+β+γ)
𝑥
-γ
𝑦
-β
𝑧
=𝐸,
-γ
𝑥
+(𝑏+γ+α)
𝑦
-α
𝑧
=0,
-β
𝑥
-α
𝑦
+(𝑐+α+β)
𝑧
=0.
Из этих уравнений мы можем определить величину 𝑧-𝑦, ток, текущий через гальванометр в ответвлении 𝑂𝐴. Мы, однако, отсылаем читателя к п. 347 и последующим, где обсуждается этот и другие вопросы, связанные с мостиком Уитстона.
Тепло, производимое в системе
283. Механический эквивалент количества тепла, производимого в единицу времени в проводнике с сопротивлением 𝑅 при протекании тока 𝐶 определяется в согласии с п. 242 формулой
𝐽𝐻
=
𝑅𝐶²
.
(13)
Нам, следовательно, нужно определить сумму величин 𝑅𝐶² для всех проводников системы.
Проводник, соединяющий точки 𝐴𝑝 и 𝐴𝑞 имеет проводимость 𝐾𝑝𝑞 и сопротивление 𝑅𝑝𝑞, причём
𝐾
𝑝𝑞
𝑅
𝑝𝑞
=
1.
(14)
Ток в этом проводнике по закону Ома равен
𝐶
𝑝𝑞
=
𝐾
𝑝𝑞
(𝑃
𝑝
-𝑃
𝑞
)
.
(15)
Мы, однако, предположим, что значение тока не определяется законом Ома, а равно 𝑋𝑝𝑞, где
𝑋
𝑝𝑞
=
𝐶
𝑝𝑞
𝑌
𝑝𝑞
.
(16)
Чтобы определить тепло, производимое в системе, нам следует найти сумму всех величин вида 𝑅𝑝𝑞𝑋²𝑝𝑞 или
𝐽𝐻
=
∑
{
𝑅
𝑝𝑞
𝐶²
𝑝𝑞
+
2𝑅
𝑝𝑞
𝐶
𝑝𝑞
𝑌
𝑝𝑞
+
𝑅
𝑝𝑞
𝑌²
𝑝𝑞
}
(17)
Внося значения 𝐶𝑝𝑞 и помня соотношение между 𝐾𝑝𝑞 и 𝑅𝑝𝑞, получаем