⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
=
1
𝑁²
,
(5)
то направляющие косинусы нормали, отсчитываемой в направлении роста λ, равны
𝑙
=
𝑁
𝑑λ
𝑑𝑥
,
𝑚
=
𝑁
𝑑λ
𝑑𝑦
,
𝑛
=
𝑁
𝑑λ
𝑑𝑧
.
(6)
Следовательно, если γ есть компонента тока, нормальная к поверхности, то
γ
=
𝑁
⎧
⎨
⎩
𝑢
𝑑λ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑λ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑λ
𝑑𝑧
⎫
⎬
⎭
.
(7)
При γ=0 ток через поверхность отсутствует. В этом случае поверхность можно назвать Поверхностью Потока, потому что линии потока лежат на этой поверхности.
288. Поэтому уравнение поверхности потока имеет вид
𝑢
𝑑λ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑λ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑λ
𝑑𝑧
=
0.
(8)
Если это уравнение соблюдается для всех значений λ, то все поверхности семейства являются поверхностями потока.
289. Предположим, что имеется другое семейство поверхностей с параметром λ'. Тогда, если поверхности этого семейства также являются поверхностями потока, мы получим
𝑢
𝑑λ'
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑λ'
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑λ'
𝑑𝑧
=
0.
(9)
Если имеется ещё и третье семейство поверхностей потока, отвечающее параметру λ'', то
𝑢
𝑑λ''
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑λ''
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑λ''
𝑑𝑧
=
0.
(10)
Исключая из этих трёх уравнений 𝑢, 𝑣 и 𝑢, мы получим
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑑λ
𝑑𝑥
,
𝑑λ
𝑑𝑦
,
𝑑λ
𝑑𝑧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑑λ'
𝑑𝑥
,
𝑑λ'
𝑑𝑦
,
𝑑λ'
𝑑𝑧
=
0,
𝑑λ''
𝑑𝑥
,
𝑑λ''
𝑑𝑦
,
𝑑λ''
𝑑𝑧
(11)
λ''
=
φ(λ,λ')
,
(12)
т.е. λ'' есть некоторая функция от λ и λ'.
290. Рассмотрим теперь четыре поверхности, параметры которых равны λ, λ+δλ и λ' λ'+δλ'. Эти четыре поверхности ограничивают некоторую четырехстороннюю трубку, которую мы можем назвать трубкой δλ⋅δλ' Поскольку эта трубка ограничена поверхностями, через которые нет потока, мы можем назвать её Трубкой Тока. Если мы возьмём любые два поперечных сечения этой трубки, то количество потока, входящее в трубку через одно сечение, должно равняться количеству потока, которое выходит из трубки через другое сечение, и, поскольку это количество будет, таким образом, одно и то же для любого сечения трубки, обозначим его через 𝐿δλ⋅δλ', где 𝐿 является функцией параметров λ и λ', определяющих рассматриваемую трубку.
291. Если δ𝑆 обозначает площадь сечения трубки потока плоскостью, нормальной к оси 𝑥, то теория замены независимых переменных даёт
δλ⋅δλ'
=
δ𝑆
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑦
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑧
-
𝑑λ
𝑑𝑧
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
,
(13)
и, по определению составляющих тока, имеем
𝑢𝑑𝑆
=
𝐿δλδλ'
.
(14)
Отсюда
𝑢
=
𝐿
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑦
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑧
-
𝑑λ
𝑑𝑧
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
.
Аналогично
𝑣
=
𝐿
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑧
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑥
-
𝑑λ
𝑑𝑥
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑧