⎞
⎟
⎠
,
𝑤
=
𝐿
⎛
⎜
⎝
𝑑λ
𝑑𝑥
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑦
-
𝑑λ
𝑑𝑦
⋅
𝑑λ'
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(15)
292. Если известна одна из функций λ или λ', то всегда возможно определить другую таким образом, чтобы величина 𝐿 равнялась единице. Например, возьмём плоскость 𝑦𝑧 и проведём на ней ряд равноотстоящих линий, параллельных оси 𝑦 Пусть эти линии представляют собой линии пересечения плоскости 𝑦𝑧 с семейством поверхностей λ'. Другими словами, пусть функция λ' определяется условием, что λ'=𝑧 при 𝑦=0. Если положить теперь 𝐿=1 и, следовательно (при 𝑥=0), λ=∫𝑢𝑑𝑦, то количество электричества, проходящее через любую часть плоскости 𝑥=0, будет равно
∬
𝑢𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
∬
𝑑λ
𝑑λ'
.
(16)
Коль скоро задан характер пересечения поверхностей тока с плоскостью 𝑦𝑧, форма этих поверхностей в пространстве всюду определяется условиями (8) и (9). Определённые так две функции λ и λ' достаточны для определения тока в любой точке с помощью соотношений (15), где величину 𝐿 следует положить равной единице.
О линиях потока
293. Выберем последовательности значений λ и λ' так, что в обеих этих последовательностях соседние значения отстоят друг от друга на единицу. Две системы поверхностей, отвечающие этим наборам значений λ и λ', разделят пространство на систему трубок с четырехсторонним сечением, по каждой из которых будет протекать единичный ток. Считая эту единицу достаточно малой, можно определить все детали распределения тока с любой желаемой степенью точности. Тогда, если провести любую поверхность, пересекающую систему трубок, величина тока, проходящего через эту поверхность, будет выражаться числом трубок, пересекающих поверхность, поскольку по каждой трубке идёт единичный ток.
Пересечения поверхностей тока могут быть названы линиями потока. Если единица выбрана достаточно малой, число линий потока, пересекающих некоторую поверхность, примерно равно числу пересекающих её потоковых трубок, и мы, таким образом, можем рассматривать линии потока как определяющие не только направление тока, но также и его силу, поскольку каждая линия потока, пересекающая данную поверхность, соответствует единичному току.
О токовых листах и токовых функциях
294. Слой проводника, заключённого между двумя соседними поверхностями тока некоторой системы, скажем системы λ', называется токовым листом. Трубки тока внутри этого слоя определяются функцией λ. Если значения λ в точках 𝐴 и 𝑃 обозначить соответственно через λ𝐴 и λ𝑃, тогда ток, текущий справа налево через любую линию, проведённую на листе от 𝐴 к 𝑃, равен λ𝑃-λ𝐴. Если 𝐴𝑃 есть некоторый элемент 𝑑𝑠 кривой, проведённой на листе, ток, пересекающий этот элемент справа налево, равен (𝑑λ/𝑑𝑠)𝑑𝑠 Эта функция λ, которая позволяет полностью определить распределение тока в слое, называется Токовой функцией.
Любой тонкий лист металла или проводящего вещества, ограниченный с двух сторон воздухом или некоторой другой непроводящей средой, может рассматриваться как токовый лист, в котором распределение тока может быть выражено с помощью токовой функции (см. п. 647).
Уравнение непрерывности
295. Если продифференцировать каждое из трёх уравнений (15) соответственно по 𝑥, 𝑦, 𝑧 имея при этом в виду, что 𝐿 является функцией от λ, и λ', найдём
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0.
(17)
Соответствующее уравнение в гидродинамике называется Уравнением «Непрерывности». Та непрерывность, которую оно выражает, есть непрерывность существования, т. е. это означает, что материальное вещество не может покинуть одну часть пространства и появиться в другой, не проходя через пространство между ними. Оно не может просто исчезнуть в одном месте и появиться в другом, а должно пройти по некоторому непрерывному пути, так что, если провести замкнутую поверхность, включающую одно местоположение и исключающую другое, материальное вещество, переходя из этого одного положения в другое, должно пройти через эту замкнутую поверхность. Наиболее общей формой этого уравнения в гидродинамике является уравнение