1
𝐵
2
𝐵
3
-
𝐴
1
𝐵
1
²
-
𝐴
2
𝐵
2
²
-
𝐴
3
𝐵
3
²
,
(18)
где
[𝑟𝑠]
𝐴
1
=
𝑟
2
𝑟
3
-𝑠
1
²
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
[𝑟𝑠]
𝐵
1
=
𝑠
2
𝑠
3
-𝑟
1
𝑠
1
,
…
…
…
(19)
и т.д., то система 𝐴,𝐵 будет обратна системе 𝑟,𝑠, и, если обозначим
𝐴
1
𝑥²
+
𝐴
2
𝑦²
+
𝐴
3
𝑧²
+
2𝐵
1
𝑦𝑧
+
2𝐵
2
𝑧𝑥
+
2𝐵
3
𝑥𝑦
=
[𝐴𝐵]
ρ²
,
(20)
мы найдём, что выражение
𝑉
=
𝐶
4π
⋅
1
ρ
(21)
является решением этого уравнения.
В случае, когда коэффициенты 𝑇 равны нулю, коэффициенты 𝐴 и 𝐵 совпадают с коэффициентами 𝑅 и 𝑆 из п. 299. При наличии 𝑇 этого не происходит.
Таким образом, в случае, когда электричество вытекает из некоторого центра, помещённого в бесконечной, однородной, но не изотропной среде, эквипотенциальные поверхности являются эллипсоидами, для каждого из которых ρ имеет постоянное значение. Оси этих эллипсоидов направлены по главным осям проводимости, и если система не является симметричной, то они не совпадают с главными осями сопротивления.
Преобразовав уравнение (16), мы можем принять за оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 главные оси проводимости. Тогда коэффициенты форм 𝑠 и 𝐵 обратятся в нуль, а каждый коэффициент формы 𝐴 будет обратен соответствующему коэффициенту формы 𝑟. Выражение для ρ будет
𝑥²
𝑟1
+
𝑦²
𝑟2
+
𝑧²
𝑟3
=
ρ²
𝑟1𝑟2𝑟3
.
(22)
303. Теория полной системы уравнений сопротивления и проводимости есть теория линейных функций от трёх переменных, которая применяется, например, в теории Упругости и в других областях физики 2. Наиболее подходящим методом рассмотрения является тот, с помощью которого Гамильтон и Тэт рассматривают линейную и векторную-функцию вектора. Мы, однако, не будем вводить явно Кватернионные обозначения.
2 Cм. Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 154.
Коэффициенты 𝑇1, 𝑇2, 𝑇3 могут рассматриваться как прямоугольные составляющие вектора 𝑇, абсолютная величина и направление которого фиксированы в теле и не зависят от направления осей отсчёта. То же самое верно и для величин 𝑡1, 𝑡2, 𝑡3, которые являются составляющими другого вектора 𝑡.
Векторы 𝑇 и 𝑡 вообще говоря, не совпадают по направлению.
Выберем теперь ось 𝑧 так, чтобы она совпадала с вектором 𝑇, и в соответствии с этим преобразуем уравнения сопротивления. Они тогда примут форму
𝑋
=
𝑅
1
𝑢
+
𝑆
3
𝑣
+
𝑆
2
𝑤
-
𝑇𝑣
,
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
𝑌
=
𝑆
3
𝑢
+
𝑅
2
𝑣
+
𝑆
1
𝑤
+
𝑇𝑣
,
𝑍
=
𝑆
2
𝑢
+
𝑆
1
𝑣
+
𝑅
3
𝑤
.
(23)
Из этих уравнений следует, что мы можем рассматривать электродвижущую напряжённость как равнодействующую двух сил, из которых одна зависит только от коэффициентов 𝑅 и 𝑆, а вторая - только от 𝑇. Часть, зависящая от 𝑅 и 𝑆, связана с током таким же образом, как перпендикуляр к плоскости, касающейся эллипсоида, связан с радиус-вектором, проведённым в точку касания. Другая часть, зависящая от 𝑇, равна по величине произведению 𝑇 на слагающую тока, перпендикулярную к оси 𝑇, и направлена перпендикулярно к 𝑇 и к направлению этого тока, совпадая по направлению с тем, в котором лежала бы перпендикулярная слагающая тока, если её повернуть на 90° в положительном направлении вокруг оси 𝑇.