⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝐹
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤½
⎥
⎦
,
(4)
и сопротивление слоя равно
𝑑𝐹
.
∭
1
∇𝐹𝑑𝑆
ρ
(5)
Для того чтобы найти сопротивление всего искусственного проводника, нам нужно только проинтегрировать по 𝐹, и мы найдём
Сопротивление 𝑅 проводника в его естественном состоянии будет больше, чем полученное таким способом значение, если только все поверхности, которые мы выбрали, не являются естественными эквипотенциальными поверхностями. Кроме того, поскольку истинное значение 𝑅 есть абсолютный максимум значений 𝑅1, который может быть таким способом получен, небольшие отклонения выбранных поверхностей от истинных эквипотенциальных поверхностей приведут к ошибке в значении 𝑅, которая является относительно малой.
Очевидно, что этот метод, определяющий нижнюю границу величины сопротивления, является совершенно общим и может быть применён к проводникам любой формы даже в том случае, если удельное сопротивление ρ произвольным образом меняется внутри проводника.
Наиболее знакомый пример - обычный метод определения сопротивления прямого провода переменного сечения. В этом случае выбранные поверхности являются плоскостями, перпендикулярными к оси проволоки, торцы слоёв параллельны и сопротивление слоя, имеющего сечение 𝑆 и толщину 𝑑𝑠, равно
𝑑𝑅
1
=
ρ𝑑𝑠
𝑆
,
(7)
а сопротивление всего провода длиной 𝑠 равно
𝑅
1
=
∫
ρ𝑑𝑠
𝑆
,
(8)
где 𝑆 есть поперечное сечение, зависящее от 𝑠.
Этот метод даёт результаты, очень близкие к истине, для проводов с медленно меняющимся по длине сечением. Но в действительности он даёт только нижнюю границу, потому что истинное сопротивление всегда больше, за исключением случаев, когда сечение совершенно однородно.
307. Чтобы найти верхнюю границу сопротивления, предположим, что в проводнике проведена некоторая поверхность, которая сделана непроницаемой для электричества. Это должно увеличить сопротивление проводника, если только эта поверхность не является одной из естественных поверхностей тока. С помощью двух систем поверхностей мы можем создать набор трубок, которые будут полностью регулировать ток, и это приведёт к тому (если это вообще к чему-нибудь приведёт), что эта система непроницаемых поверхностей должна будет сделать сопротивление больше его естественного значения.
Сопротивление каждой из трубок может быть вычислено с помощью метода, уже приведённого для тонких проводов, и сопротивление всего проводника равно обратной величине от суммы обратных сопротивлений всех трубок. Найденное таким образом сопротивление больше, чем естественное сопротивление, за исключением того случая, когда трубки следуют естественным линиям тока.
В уже рассмотренном случае, когда проводник представляет собой вытянутое тело вращения, будем измерять 𝑥 вдоль оси и обозначим через 𝑏 радиус сечения в каждой точке. Пусть один набор непроницаемых поверхностей состоит из плоскостей, проходящих через ось, для каждой из которых значение φ постоянно, и пусть другой набор состоит из поверхностей вращения, для которых
𝑦²
=
ψ𝑏²
,
(9)
где ψ есть число в промежутке между 0 и 1.
Рассмотрим часть одной из трубок, ограниченную поверхностями φ и φ+𝑑φ, ψ и ψ+𝑑ψ, 𝑥 и 𝑥+𝑑𝑥.
Сечение трубки, выбранное перпендикулярно оси, равно
𝑦
𝑑𝑦
𝑑ψ
=
½𝑏²
𝑑ψ
𝑑φ
.
(10)
Если обозначить через θ угол, который трубка составляет с осью, то
tg θ
=
ψ
½
𝑑𝑏
𝑑𝑥
.
(11)
Истинная длина элемента трубки равна 𝑑𝑥 sec θ а истинное сечение равно ½𝑏𝑑ψ𝑑φ cos θ, так что сопротивление этого элемента равно
2ρ
𝑑𝑥
𝑏²𝑑ψ𝑑φ
sec²θ