=
2ρ
𝑑𝑥
𝑏²𝑑ψ𝑑φ
⎡
⎢
⎣
1+ψ
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑏
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
.
(12)
Пусть
𝐴
=
∫
ρ
𝑏²
𝑑𝑥
,
𝐵
=
∫
ρ
𝑏²
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑏
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
𝑑𝑥
,
(13)
где интегрирование распространяется на всю длину 𝑥 проводника. Тогда сопротивление трубки 𝑑ψ𝑑φ равно
2
𝑑ψ𝑑φ
(𝐴+ψ𝐵)
,
а её проводимость есть
𝑑ψ𝑑φ
2(𝐴+ψ𝐵)
.
Чтобы найти проводимость всего проводника, которая равна сумме проводимостей отдельных трубок, мы должны проинтегрировать это выражение в пределах от φ=0 до φ=2π и от ψ=0 до ψ=2π. В результате
1
𝑅'
=
π
𝐵
ln
⎛
⎜
⎝
1+
𝐵
𝐴
⎞
⎟
⎠
.
(14)
Эта величина может быть меньше, но не может быть больше, чем истинная проводимость проводника.
В случае, когда 𝑑𝑏/𝑑𝑥 всегда является малой величиной, отношение 𝐵/𝐴 также будет малым, и мы можем разложить выражение для проводимости таким образом:
1
𝑅'
=
π
𝐴
⎛
⎜
⎝
1-
1
2
𝐵
𝐴
+
1
3
𝐵²
𝐴²
-
1
4
𝐵³
𝐴³
+ и т.д.
⎞
⎟
⎠
.
(15)
Первый член этого разложения π/𝐴 есть та величина, которую мы получили бы предыдущим методом как верхнюю границу проводимости. Таким образом, истинная проводимость оказывается меньше первого члена, но больше всего ряда. Верхнее значение сопротивления есть величина, обратная этой, т. е.
𝑅'
=
𝐴
π
⎛
⎜
⎝
1+
1
2
𝐵
𝐴
-
1
12
𝐵
𝐴
+
1
24
𝐵
𝐴
- и т.д.
⎞
⎟
⎠
.
(16)
Если, кроме предположения о том, что ток направляется поверхностями φ и ψ, мы бы предположили, что ток через каждую трубку пропорционален 𝑑ψ𝑑φ, мы бы получили следующее выражение для величины сопротивления при этом добавочном ограничении:
𝑅''
=
1
π
⎛
⎜
⎝
𝐴
+
1
2
𝐶
⎞
⎟
⎠
,
(17)
что очевидно превышает предыдущее значение, как это и должно быть ввиду наложенного добавочного предположения. В работе лорда Рэлея 4 сделано именно такое предположение, и приведённая там верхняя граница для сопротивления имеет значение (17), что несколько превышает величину, полученную нами в (16).
4 Lord Rayleigh, Theory of Sound, vol. II, p. 171.
308. Мы теперь применим тот же метод, для того чтобы найти поправку, которую следует внести на длину цилиндрического проводника радиуса 𝑎, когда его конец находится в металлическом контакте с массивным электродом, который можно предполагать сделанным из другого металла.
Для нижней границы сопротивления мы предположим, что между концом цилиндра и массивным электродом помещён бесконечно тонкий диск из идеально проводящего вещества, так что конец цилиндра всюду имеет один и тот же потенциал. Тогда потенциал внутри цилиндра будет зависеть только от его длины, и если мы предполагаем, что поверхность электрода там, где она встречается с цилиндром, является приблизительно плоской и что все размеры электрода велики в сравнении с диаметром цилиндра, то распределение потенциала будет таким, как у проводника, имеющего форму диска и помещённого в бесконечную среду (см. п. 151, 177).
Если 𝐸 - разность между потенциалом диска и потенциалом удалённых частей электрода, 𝐶 - ток, выходящий с поверхности диска в электрод, и ρ' - удельное сопротивление электрода и если 𝑄 - количество электричества на диске, которое мы предполагаем распределённым как в п. 151, то легко видеть, что интеграл от электродвижущей напряжённости по диску равен