ρ'𝐶
=
1
4
4π𝑄
=
2π
𝑎𝐸
(π/2)
, в силу п. 151,
=
4𝑎𝐸.
(18)
Таким образом, если длина провода от заданной точки до электрода равна 𝐿 и его удельное сопротивление равно ρ, то сопротивление от этой точки до любой точки электрода, не близкой к месту соединения, выражается формулой
𝑅
=
ρ
𝐿
π𝑎²
+
ρ
4𝑎
,
и это можно записать так:
𝑅
=
ρ
π𝑎²
⎛
⎜
⎝
𝐿
+
ρ'
ρ
⋅
π𝑎
4
⎞
⎟
⎠
,
(19)
где второй член в скобках даёт величину, которую нужно добавить к длине цилиндра при вычислении его сопротивления, и это, конечно, слишком малая поправка.
Чтобы понять природу допускаемой, возможно, ошибки, мы можем заметить, что в то время как мы считали ток в проводе по направлению к диску однородным по сечению, ток от диска к электроду не является однородным, но в любой точке обратно пропорционален (п. 151) минимальной хорде, проведённой через эту точку. В действительности ток через диск не будет однородным, но он и не будет так сильно меняться от точки к точке, как в этом предполагаемом случае. Потенциал диска в действительности не будет однородным, но будет падать от середины к краям.
309. Мы теперь определим величину, превышающую истинное сопротивление, наложив требование, чтобы ток через диск был однороден в каждой точке. Мы можем предполагать, что электродвижущие силы, вводимые для этого, действуют перпендикулярно поверхности диска.
Сопротивление самой проволоки будет таким же, как и раньше, но в электроде скорость выделения тепла будет равна поверхностному интегралу от произведения тока на потенциал. Значение тока в любой точке равно 𝐶/(π𝑎²), а потенциал будет такой же, как у наэлектризованной поверхности с плотностью заряда σ, где
2πσ
=
𝐶ρ'
π𝑎²
,
(20)
а ρ' - удельное сопротивление.
Следовательно, нам нужно определить потенциальную энергию электризации диска с однородной поверхностной плотностью σ.
Потенциал 5 на краю диска с однородной плотностью σ легко определяется и равен 4𝑎σ. Работа, совершаемая при добавлении полоски шириной 𝑑𝑎 вдоль окружности диска, равна 2π𝑎σ𝑑𝑎⋅4𝑎σ, а полная потенциальная энергия диска есть интеграл от этой величины,
или 𝑃
=
8π
3
𝑎³
σ²
.
(21)
5 См. работу профессора Кэйли (Cayley), London, Math. Soc. Proc., VI, p. 38.
При прохождении электрического тока скорость, с которой совершается работа в электроде с сопротивлением 𝑅' равна 𝐶𝑅'. Но, согласно общему уравнению, определяющему процесс прохождения тока, величина тока через диск на единицу площади записывается в виде -(1/ρ')(𝑑𝑉/𝑑ν) или (2π/ρ')σ.
-
1
ρ'
𝑑𝑉
𝑑ν
или
2π
ρ'
σ
.
Если 𝑉 - потенциал на диске, а 𝑑𝑠 - элемент его поверхности, то скорость совершения работы равна
=
𝐶
π𝑎²
∫
𝑉
𝑑𝑠
=
2𝐶
π𝑎²
𝑃
σ
, поскольку 𝑃
=
1
2
∫
𝑉σ
𝑑𝑠
,
=
4π
ρ'
𝑃 (по формуле(20))
.
Таким образом, мы получаем
𝐶²
𝑅'
=
4π
ρ'
𝑃
,
(22)
откуда с учётом (20) и (21)
𝑅'
=
8ρ'
3π²𝑎
,
и поправка, которую нужно добавить к длине цилиндра, равна
ρ'
ρ
8
3π
𝑎
,
причём это значение поправки превышает истинное значение. Таким образом, истинная поправка, которую нужно добавить к длине, равна (ρ'/ρ)𝑎𝑛, где 𝑛 - число, лежащее между π/4 и 8/3π или между 0,785 и 0,849.
Лорд Рэлей 6 во втором приближении уменьшил верхний предел для 𝑛 до 0,8282.
6Phil. Mag., Nov., 1872, р. 344. В дальнейшем лорд Рэлей получил для верхнего предела значение 0,8242. См. London Math. Soc. Proc., VII, p. 74; также Theory of Sound, vol. II, Appendix A, p. 291 (имеется перевод на русский язык: Рэлей «Теория звука». М.: ГИТТЛ, 1965. Т. II. С. 468.- Примеч. пёр.).