ГЛАВА IX
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТИЧЕСТВА ЧЕРЕЗ НЕОДНОРОДНЫЕ СРЕДЫ
Об условиях, которые должны выполняться на поверхности раздела между двумя проводящими средами
310. Имеются два условия, которым всегда должно удовлетворять распределение токов: условие, что потенциал должен быть непрерывен, и условие «непрерывности» электрических токов.
На поверхности раздела между двумя средами первое из этих условий требует, чтобы потенциалы в двух точках, расположенных по разные стороны поверхности, но бесконечно близко друг от друга, были равны. Подразумевается, что потенциалы должны измеряться электрометром, приведённым в соединение с данной точкой посредством электрода, который изготовлен из данного металла. Если потенциалы измеряются по методу, описанному в п. 222, 246, в котором конец электрода помещается внутри заполненной воздухом полости в проводнике, то измеренные таким путём потенциалы в прилегающих точках различных металлов будут отличаться на величину, зависящую от температуры и от природы этих двух металлов.
Другое условие на поверхности состоит в том, что ток через любой элемент поверхности имеет одно и то же значение при измерении в любой из сред.
Таким образом, если 𝑉1 и 𝑉2 обозначают потенциалы в двух средах, то в любой точке поверхности раздела
𝑉
1
=
𝑉
2
,
(1)
и если 𝑢1, 𝑣1, 𝑤1 и 𝑢2, 𝑣2, 𝑤2 - составляющие токов в этих двух средах, а 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали к поверхности раздела, то
𝑢
1
𝑙
+
𝑣
1
𝑚
+
𝑤
1
𝑛
=
𝑢
2
𝑙
+
𝑣
2
𝑚
+
𝑤
2
𝑛
.
(2)
В самом общем случае составляющие 𝑢, 𝑣, 𝑤 являются линейными функциями производных потенциала 𝑉; вид этих линейных функций определяется уравнениями
𝑢
=
𝑟
1
𝑋
+
𝑝
3
𝑌
+
𝑞
2
𝑍
,
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
𝑣
=
𝑞
3
𝑋
+
𝑟
2
𝑌
+
𝑝
1
𝑍
,
𝑤
=
𝑝
2
𝑋
+
𝑞
1
𝑌
+
𝑟
3
𝑍
,
(3)
где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - производные функции 𝑉 соответственно по 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Возьмём случай поверхности, которая отделяет среду с такими коэффициентами проводимости от изотропной среды, имеющей коэффициент проводимости, равный 𝑟.
Обозначим значения 𝑋, 𝑌, 𝑍 в изотропной среде через 𝑋', 𝑌', 𝑍' тогда на поверхности имеем
𝑉
=
𝑉'
,
(4)
или
𝑋𝑑𝑥
+
𝑌𝑑𝑦
+
𝑍𝑑𝑧
=
𝑋'𝑑𝑥
+
𝑌'𝑑𝑦
+
𝑍'𝑑𝑧
,
(5)
если
𝑙𝑑𝑥
+
𝑚𝑑𝑦
+
𝑛𝑑𝑧
=
0.
(6)
Это условие приводит к
𝑋'
=
𝑋
+
4πσ𝑙
,
𝑌'
=
𝑌
+
4πσ𝑚
,
𝑍'
=
𝑍
+
4πσ𝑛
,
(7)
где σ - поверхностная плотность.
В изотропной среде имеем также
𝑢'
=
𝑟𝑋'
,
𝑣'
=
𝑟𝑌'
,
𝑤'
=
𝑟𝑍'
,
(8)
и условие на границе для тока таково:
𝑢'𝑙
+
𝑣'𝑚
+
𝑤'𝑛
=
𝑢𝑙
+
𝑣𝑚
+
𝑤𝑛
,
(9)
или
𝑟
(
𝑙𝑋
+
𝑚𝑌
+
𝑛𝑍
+
4πσ
)
=
𝑙
(
𝑟
1
𝑋
+
𝑝
3
𝑌
+
𝑞
2
𝑍
)