(𝐴
1
-𝐴
2
)
𝑎
2𝑖+1
+
𝐵
1
-𝐵
2
=
0,
⎛
⎜
⎝
1
𝑘1
𝐴
1
-
1
𝑘2
𝐴
2
⎞
⎟
⎠
𝑖𝑎
2𝑖+1
-
⎛
⎜
⎝
1
𝑘1
𝐵
1
-
1
𝑘2
𝐵
2
⎞
⎟
⎠
(𝑖+1)
=
0.
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(4)
Эти уравнения, если мы знаем две из четырёх величин 𝐴1, 𝐴2, 𝐵1, 𝐵2, достаточны для определения двух других величин.
Предположим, что 𝐴1 и 𝐵1 известны, тогда для 𝐴2 и 𝐵2 мы получим следующие выражения:
𝐴
2
=
{𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
}𝐴
1
+
(𝑘
1
-𝑘
2
)
(𝑖+1)
𝐵
1
𝑎
-(2𝑘+1)
,
𝑘
1
(2𝑖+1)
𝐵
2
=
(𝑘
1
-𝑘
2
)
𝑖𝐴
1
𝑎
2𝑘+1
+
{𝑘
1
𝑖+𝑘
2
(𝑖+1)}𝐵
1
.
𝑘
1
(2𝑖+1)
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(5)
Таким путём мы можем найти условия, которым должен удовлетворять каждый член разложения потенциала по гармоникам для случая любого числа слоёв, ограниченных концентрическими сферическими поверхностями.
312. Пусть радиус первой сферической поверхности равен 𝑎1 и пусть имеется вторая сферическая поверхность большего радиуса 𝑎2, вне которой удельное сопротивление равно 𝑘3. Если внутри этих сфер отсутствуют источники или стоки электричества, потенциал 𝑉 не принимает бесконечных значений, и мы имеем 𝐵1=0.
Тогда для 𝐴3 и 𝐵3, коэффициентов во внешней среде, мы находим
𝐴
3
𝑘
1
𝑘
2
(2𝑖+1)²
=
⎡
⎢
⎣
{𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
𝑖}
{𝑘
2
(𝑖+1)+𝑘
3
𝑖}
+
+
𝑖(𝑖+1)
(𝑘
1
-𝑘
2
)
(𝑘
2
-𝑘
3
)
⎛
⎜
⎝
𝑎1
𝑎2
⎞2𝑖+1
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝐴
1
,
𝐵
3
𝑘
1
𝑘
2
(2𝑖+1)²
=
⎡
⎣
𝑖(𝑘
2
-𝑘
3
)
{𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
𝑖}
𝑎
2
2𝑖+1
+
+
𝑖(𝑘
1
-𝑘
2
)
{𝑘
2
𝑖+𝑘
3
(𝑖+1)}
𝑎
1
2𝑖+1
⎤
⎦
𝐴
1
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(6)
Значение потенциала во внешней среде частично зависит от внешних источников электричества, которые производят токи независимо от наличия сферы с неоднородным заполнением, а частично от возмущения, вызванного введением неоднородной сферы.
Первая часть должна зависеть от пространственных гармоник только положительных степеней, потому что она не может принимать бесконечных значений внутри сферы. Вторая часть должна зависеть от гармоник отрицательных степеней, потому что она должна исчезать на бесконечном расстоянии от центра сферы.