Таким образом, потенциал, вызванный внешними электродвижущими силами, должен разлагаться в ряд по пространственным гармоникам положительной степени. Пусть 𝐴3 - коэффициент одной из этих гармоник, имеющей вид 𝐴3𝑆𝑖𝑟𝑖. Тогда с помощью соотношения (6) мы можем найти соответствующий коэффициент 𝐴1 для внутренней сферы и отсюда вывести 𝐴2, 𝐵2 и 𝐶3. При этом 𝐶3 представляет влияние на потенциал во внешней среде, вызванное введением неоднородной сферы.
Предположим теперь, что 𝑘3=𝑘1, т.е. рассмотрим случай полой оболочки, для которой 𝑘=𝑘2, разделяющей внутреннюю и внешнюю части среды, для которой 𝑘=𝑘1.
Если мы положим
𝐶
=
1
,
(2𝑖+1)²𝑘
1
𝑘
2
+
𝑖(𝑖+1)(𝑘
2
-𝑘
1
)²
⎛
⎜
⎝
1-
⎛
⎜
⎝
𝑎
1
⎞
⎟
⎠
2𝑖+1
⎞
⎟
⎠
𝑎
2
то
𝐴
1
=
𝑘
1
𝑘
2
(2𝑖+1)²
𝐶𝐴
3
,
𝐴
2
=
𝑘
2
(2𝑖+1)
(𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
𝑖)
𝐶𝐴
3
,
𝐵
2
=
𝑘
2
𝑖
(2𝑖+1)
(𝑘
1
-𝑘
2
)
𝑎
1
2𝑖+1
𝐶𝐴
3
,
𝐵
3
=
𝑖(𝑘
2
-𝑘
1
)
(𝑘
1
(𝑖+1)+𝑘
2
𝑖)
(𝑎
2
2𝑖+1
-𝑎
1
2𝑖+1
)
𝐶𝐴
3
.
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(7)
Разность между невозмущённым коэффициентом 𝐴3 и его значением 𝐴1 в полости внутри сферической оболочки равна
𝐴
3
-𝐴
1
=
(𝑘
2
-𝑘
1
)²
𝑖(𝑖+1)
⎛
⎜
⎝
1-
⎛
⎜
⎝
𝑎1
𝑎2
⎞2𝑖+1
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
𝐶𝐴
3
.
(8)
Поскольку эта величина всегда имеет тот же самый знак, что и 𝐴3, каковы бы ни были значения 𝑘1 и 𝑘2, отсюда следует, что независимо от того, лучше или хуже остальной среды проводит сферическая оболочка, электрическое действие в пространстве, окружённом оболочкой, оказывается меньше, чем оно было бы без неё. Если оболочка оказывается лучшим проводником, чем остальная среда, она стремится выровнять потенциал вокруг внутренней сферы. Если она является худшим проводником, она вообще препятствует электрическим токам достичь внутренней сферы.
Случай сплошной сферы может быть получен из рассмотренного выше, если положить 𝑎1=0, или же этот случай может быть рассмотрен независимо.
313. Наиболее важным членом в разложении по гармоникам является член с 𝑖=1, для которого
𝐶
=
1
,
9𝑘
1
𝑘
2
+
2(𝑘
2
-𝑘
1
)²
⎛
⎜
⎝
1-
⎛
⎜
⎝
𝑎
1
⎞
⎟
⎠
3
⎞
⎟
⎠
𝑎
1
𝐴
1
=
9𝑘
1
𝑘
2
𝐶𝐴
3
,
𝐴
2
=
3𝑘
2
(2𝑘
1
+𝑘
2
)
𝐶𝐴
3
,