𝐵
2
=
3𝑘
2
(𝑘
1
-𝑘
2
)
𝑎
1
³
𝐶𝐴
3
,
𝐵
3
=
(𝑘
1
-𝑘
2
)
(2𝑘
1
+𝑘
2
)
(𝑎
2
³-𝑎
1
³)
𝐶𝐴
3
.
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(9)
Случай сплошной сферы с сопротивлением 𝑘2 может быть получен отсюда, если положить 𝑎1=0. Мы тогда получаем
𝐴
2
=
3𝑘2
𝑘1+2𝑘2
𝐴
3
,
𝐵
2
=
0,
𝐵
3
=
𝑘2-𝑘1
𝑘1+2𝑘2
𝑎
2
³
𝐴
3
.
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(10)
С помощью общих формул легко показать, что коэффициент 𝐵3 в случае полой сферы, имеющей ядро с сопротивлением 𝑘1 и окружённой оболочкой с сопротивлением 𝑘2, записывается точно так же, как и в случае однородной сплошной сферы с радиусом внешней поверхности и с сопротивлением 𝐾 где
𝐾
=
(2𝑘1+𝑘2)𝑎2³+(𝑘1-𝑘2)𝑎1³
(2𝑘1+𝑘2)𝑎2³-2(𝑘1-𝑘2)𝑎1³
𝑘
2
.
(11)
314. Если имеется 𝑛 сфер радиуса 𝑎1 и сопротивления 𝑘1 помещённые в среду, сопротивление которой равно 𝑘2, на таких расстояниях друг от друга, что вызываемое каждой из сфер возмущение протекающего тока можно рассматривать независимо, если все эти сферы заключены внутри сферы радиуса 𝑎2, потенциал на больших расстояниях 𝑟 от центра этой сферы будет иметь вид
𝑉
=
⎛
⎜
⎝
𝐴𝑟
+
𝑛𝐵
1
𝑟²
⎞
⎟
⎠
cos θ
,
(12)
где значение 𝐵 равно
𝐵
=
𝑘1-𝑘2
2𝑘1+𝑘2
𝑎
1
³
𝐴
.
(13)
Отношение объёма 𝑛 малых сфер к объёму содержащей их большой сферы равно
𝑝
=
𝑛𝑎1³
𝑎2³
.
(14)
Поэтому значение потенциала на большом расстоянии от сферы может быть записано в виде
𝑉
=
𝐴
⎛
⎜
⎝
𝑟
+
𝑝
𝑎
2
³
𝑘1-𝑘2
2𝑘1+𝑘2
1
𝑟²
⎞
⎟
⎠
cos θ
.
(15)
Если бы вся сфера радиуса 𝑎2 была сделана из вещества с удельным сопротивлением 𝐾, мы бы имели
𝑉
=
𝐴
⎧
⎨
⎩
𝑟
+
𝑎
2
³
𝐾-𝑘2
2𝐾+𝑘2
1
𝑟²
⎫
⎬
⎭
cos θ
.
(16)
Одно выражение эквивалентно другому, если
𝐾
=
2𝑘1+𝑘2+𝑝(𝑘1-𝑘2)
2𝑘1+𝑘2-𝑝(𝑘1-𝑘2)
𝑘
2
.
(17)
Это, таким образом, и есть удельное сопротивление составной среды, образованной из вещества с удельным сопротивлением 𝑘2, в которое вкраплены малые сферы с удельным сопротивлением 𝑘1 причём отношение суммарного объёма всех малых сфер ко всему объёму равно 𝑝. Для того чтобы действие этих сфер не вызывало явлений, зависящих от их взаимодействия, их радиусы должны быть малы в сравнении с расстояниями между ними, и поэтому величина 𝑝 должна быть малой дробью.
Этот результат может быть получен и другими способами, но тот, который приведён здесь, содержит только повторение результата, уже полученного для случая одной сферы.
Если расстояние между сферами не велико по сравнению с их радиусами, и если величина (𝑘1-𝑘2)/(2𝑘1+𝑘2) существенна, то в этот результат войдут другие члены, которые мы сейчас не будем рассматривать. Эти члены приводят к тому, что при определённых системах расположения сфер сопротивление составной среды оказывается различным в различных направлениях.