1 См. Kirchhoff, Pogg. Ann., LXIV, 497 и LXVII, 344; Quincke, Pogg., XCVII, 382; Smith, Proc. R. S. Edin., 1869-70, p. 79.
Прохождение электричества через пластину, разделяющую две среды
317. Рассмотрим теперь влияние пластины толщиной 𝐴𝐵 из среды с сопротивлением 𝑘2, разделяющей две среды с сопротивлениями 𝑘1 и 𝑘3, на изменение потенциала источника 𝑆, расположенного в первой среде.
Рис. 24
Потенциал в этом случае будет равен потенциалу системы зарядов, расположенных в воздухе в определённых точках на прямой линии, перпендикулярной к пластине и проходящей через 𝑆.
Положим
𝐴𝑆
=
𝑆𝐴
,
𝐵𝐼
1
=
𝑆𝐵
,
𝐵𝐽
1
=
𝐼
1
𝐵
,
𝐵𝐼
2
=
𝐽
1
𝐵
,
𝐵𝐽
2
=
𝐼
2
𝐴
, и т.д.
тогда мы имеем два ряда точек, находящихся на расстоянии друг от друга, равных удвоенной толщине пластины [рис. 24].
318. Потенциал в первой среде в любой точке 𝑃 равен
𝐸
𝑃𝑆
+
𝐼
𝑃𝐼
+
𝐼1
𝑃𝐼1
+
𝐼2
𝑃𝐼2
+ и т.д.
(8)
Потенциал в точке 𝑃' во второй среде равен
𝐸'
𝑃'𝑆
+
𝐼'
𝑃'𝐼
+
𝐼'1
𝑃'𝐼1
+
𝐼'2
𝑃'𝐼2
+ и т.д. +
𝐽'1
𝑃'𝐽1
+
𝐽'2
𝑃'𝐽2
+ и т.д.
(9)
и потенциал в точке 𝑃'' в третьей среде равен
𝐸''
𝑃''𝑆
+
𝐽1
𝑃''𝐽1
+
𝐽2
𝑃''𝐽2
+ и т.д.,
(10)
где 𝐼, 𝐼' и т. д.- воображаемые заряды, расположенные в точках 𝐼 и т. д., а штрих означает, что потенциал следует брать внутри пластины.
Тогда, согласно п. 315, из условий на поверхности, проходящей через 𝐴, мы имеем
𝐼
=
𝑘2-𝑘1
𝑘2+𝑘1
𝐸
,
𝐸'
=
2𝑘2
𝑘1+𝑘2
.
(11)
Для поверхности, проходящей через 𝐵, находим
𝐼'
1
=
𝑘3-𝑘2
𝑘3+𝑘2
𝐸'
,
𝐸''
=
2𝑘3
𝑘2+𝑘3
𝐸'
.
(12)
Подобным же образом снова для поверхности, проходящей через 𝐴,
𝐽'
1
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+𝑘2
𝐼'
1
,
𝐼
1
=
2𝑘1
𝑘1+𝑘2
𝐼'
1
,
(13)
и для поверхности, проходящей через 𝐵,
𝐼'
2
=
𝑘3-𝑘2
𝑘3+𝑘2
𝐽'
1
,
𝐽
1
=
2𝑘3
𝑘3+𝑘2
𝐽'
1
.
(14)
Если мы обозначим
ρ
=
𝑘1-𝑘2
𝑘1+𝑘2
и
ρ'
=
𝑘3-𝑘2
𝑘3+𝑘2
,
то найдём для потенциала в первой среде
𝑉
=
𝐸
𝑃𝑆
-
ρ
𝐸
𝑃𝐼
+
(1-ρ²)ρ'
𝐸
𝑃𝐼1
+
ρ'(1-ρ²)ρρ'
𝐸
𝑃𝐼2
+ и т.д +
+
ρ'(1-ρ²)(ρρ')
𝑛-1
𝐸
𝑃𝐼𝑛
+
.
(15)
Для потенциала в третьей среде мы найдём
𝑉
=
(1+ρ')(1-ρ)
𝐸
⎧
⎨
⎩
1
𝑃𝑆
+
ρρ'
𝑃𝐽1
+ и т.д. +
(ρρ')𝑛
𝑃𝐽𝑛
+…