-
ℎℎ'(𝑝1-𝑝'1)(𝑞1-𝑞'1)
(ℎ+ℎ')(𝑐+𝑐')
,
𝑟
3
=
𝑐+𝑐'
ℎ+ℎ'
.
320. Если ни одно из двух веществ, составляющих слои, не обладает свойством вращения, рассмотренным в п. 303, значение любой из величин 𝑃 или 𝑝 будет равно значению соответствующей величины 𝑄 или 𝑞. Отсюда следует, что в слоистом проводнике также 𝑝1=𝑞1, 𝑝2=𝑞2, 𝑝3=𝑞3.
Другими словами, разделение на слои не приводит к свойству вращения, если этого свойства нет ни у одного из веществ, составляющих слои.
321. Если мы теперь предположим, что свойство вращения отсутствует и что оси 𝑥, 𝑦, 𝑧 являются главными осями, тогда коэффициенты 𝑝 и 𝑞 исчезают и
𝑟
1
=
𝑐𝑟1+𝑐'𝑟'1
𝑐+𝑐'
,
𝑟
2
=
𝑐𝑟1+𝑐'𝑟'2
𝑐+𝑐'
,
𝑟
3
=
𝑐+𝑐'
(𝑐/𝑟1)+(𝑐'/𝑟'1)
.
Если мы начнём со случая, когда обе среды изотропны, но имеют различные проводимости 𝑟 и 𝑟', то, поскольку
𝑟
1
-
𝑟
3
=
𝑐𝑐'
𝑐+𝑐'
⋅
(𝑟-𝑟')²
(𝑐𝑟'+𝑐'𝑟)
,
разбиение на слои приводит к тому, что в направлении, перпендикулярном слоям, сопротивление оказывается наибольшим, а сопротивления по всем направлениям в плоскости слоёв одинаковы.
322. Возьмём изотропную среду проводимости 𝑟, разобьём её на исключительно тонкие слои толщиной 𝑎 и расположим их попеременно со слоями вещества, проводимость которого равна 𝑠, а толщина 𝑘1𝑎.
Пусть эти слои будут нормальны к оси 𝑥. Затем разобьём этот составной проводник на гораздо более толстые слои толщины 𝑏, перпендикулярные оси 𝑦, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна 𝑠, а толщина 𝑘2𝑏.
Наконец, разобьём этот новый проводник на ещё более толстые слои толщины 𝑐, перпендикулярные к оси 𝑧, и расположим эти слои попеременно со слоями, проводимость которых равна 𝑠, а толщина 𝑘3𝑐.
В результате этих трёх операций вещество проводимости 𝑟 разобьётся на прямоугольные параллелепипеды с размерами 𝑎, 𝑏, 𝑐, причём размер 𝑏 крайне мал по сравнению с 𝑐 и размер 𝑎 крайне мал по сравнению с 𝑏. Эти параллелепипеды погружены в вещество с проводимостью 𝑠, так что они отдалены друг от друга на расстояния 𝑘1𝑎 вдоль оси 𝑥, 𝑘2𝑏 - в направлении оси 𝑦 и 𝑘3𝑐 - в направлении оси 𝑧. Проводимости образованного таким образом проводника можно определить, если трижды последовательно воспользоваться результатами п. 321.
При этом мы получим
𝑟
1
=
{1+𝑘
1
(1+𝑘
2
)(1+𝑘
3
)}𝑟
+
(𝑘
2
+𝑘
3
+𝑘
2
𝑘
3
)𝑠
(1+𝑘2)(1+𝑘3)(𝑘1𝑟+𝑠)
𝑠
,
𝑟
2
=
(1+𝑘
2
+𝑘
2
𝑘
3
)𝑟
+
(𝑘
1
+𝑘
3
+𝑘
1
𝑘
2
+𝑘
1
𝑘
3
+𝑘
1
𝑘
2
𝑘
3
)
𝑠
,
(1+𝑘3){𝑘2𝑟+(1+𝑘1+𝑘1𝑘2)𝑠}
𝑠
,
𝑟
3
=
(1+𝑘3)(𝑟+(𝑘1+𝑘2+𝑘1𝑘2)𝑠)
𝑘
1
𝑟
+
(1+𝑘
1
+𝑘
2
+𝑘
2
𝑘
3
+𝑘
3
𝑘
1
+𝑘
1
𝑘
2
+𝑘
1
𝑘
2
𝑘
3
)𝑠
𝑠
.
Точность этого рассмотрения определяется тем, что три размера параллелепипедов имеют разные порядки величины, так что мы можем пренебречь условиями, которые должны быть выполнены на рёбрах и в вершинах. Если мы положим каждую из величин 𝑘1, 𝑘2, 𝑘3 равной единице, то получим