𝑟
1
=
5𝑟+3𝑠
4𝑟+4𝑠
𝑠
,
𝑟
2
=
3𝑟+5𝑠
2𝑟+6𝑠
𝑠
,
𝑟
3
=
2𝑟+6𝑠
𝑟+7𝑠
.
Если 𝑟=0, т. е. если среда, из которой сделаны параллелепипеды, представляет собой совершенный изолятор, то
𝑟
1
=
3
4
𝑠
,
𝑟
2
=
5
6
𝑠
,
𝑟
3
=
6
7
𝑠
.
Если 𝑟=∞, т. е. если параллелепипеды являются идеальными проводниками,
𝑟
1
=
5
4
𝑠
,
𝑟
2
=
3
2
𝑠
,
𝑟
3
=
2𝑠
.
В любом случае, если 𝑘1=𝑘2=𝑘3, можно показать, что 𝑟1, 𝑟2 и 𝑟3, расположены в порядке возрастания величины, так что наибольшая проводимость имеет место в направлении наибольшего размера параллелепипедов, а наибольшее сопротивление - в направлении наименьших размеров.
323. Пусть в прямоугольном параллелепипеде, сделанном из проводящего твёрдого тела, имеется проводящий канал между противоположными вершинами, представляющий собой провод, покрытый изолирующим материалом. Пусть поперечные размеры канала настолько малы, что проводимость тела не изменяется, если не считать тока, идущего по проводу.
Пусть размеры параллелепипеда в направлениях координатных осей будут равны 𝑎, 𝑏 и 𝑐, и пусть проводимость канала, идущего от начала координат к точке (𝑎𝑏𝑐), равна 𝑎𝑏𝑐𝐾.
Электродвижущая сила, действующая между концами канала, равна 𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍, и если ток вдоль канала равен 𝐶' то 𝐶'=𝐾𝑎𝑏𝑐(𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍).
Ток, идущий через грань параллелепипеда 𝑏𝑐 равен 𝑏𝑐𝑢, и он складывается из тока, обусловленного проводимостью тела, и из тока, обусловленного проводимостью канала, или
𝑏𝑐𝑢
=
𝑏𝑐
(𝑟
1
𝑋+𝑝
1
𝑌+𝑞
1
𝑍)
+
𝐾𝑎𝑏𝑐(𝑎𝑋+𝑏𝑌+𝑐𝑍)
,
или
𝑢
=
(𝑟
1
+𝐾𝑎²)𝑋
+
(𝑝
3
+𝐾𝑎𝑏)𝑌
+
(𝑞
2
+𝐾𝑏𝑎)𝑍
.
Таким же путём мы можем найти значения 𝑣 и 𝑤. Коэффициенты проводимости с учётом изменения, которое вызвано влиянием канала, имеют вид
𝑟
1
+𝐾𝑎²,
𝑟
2
+𝐾𝑏²,
𝑟
3
+𝐾𝑐²,
𝑝
1
+𝐾𝑏𝑐,
𝑝
1
+𝐾𝑐𝑎,
𝑝
3
+𝐾𝑎𝑏,
𝑞
1
+𝐾𝑏𝑐,
𝑞
2
+𝐾𝑐𝑎,
𝑞
3
+𝐾𝑎𝑏.
В этих выражениях добавки к значениям 𝑝1 и т.д., вызванные действием канала, равны добавкам к значениям 𝑞1 и т. д. Следовательно, значения 𝑝1 и 𝑞1 не могут стать неравными из-за введения линейного канала в каждый элемент объёма тела, и поэтому свойство вращения, рассмотренное в п. 303, если оно первоначально отсутствовало у тела, не может быть создано таким способом.
324. Как построить решётку из проводников, которая будет иметь любые заданные коэффициенты проводимости, образующие симметричную систему.
Рис. 25
Пусть пространство разбито на одинаковые малые кубы, один из которых представлен на рис. 25. Обозначим координаты точек 𝑂, 𝐿, 𝑀, 𝑁 и потенциалы этих точек следующим образом:
𝑥
𝑦
𝑧
Потенциал
0
0
0
0
𝑋+𝑌+𝑍
𝐿
0
1
1
𝑋
𝑀
1
0
1
𝑌
𝑁
1
1
0
𝑍