𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
1
𝑟
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
-
𝑑ρ
𝑑𝑡
=
0,
(2)
где 𝑟 - удельное сопротивление на единицу объёма.
Если функции 𝐾 или 𝑟 имеют разрывы, эти уравнения нужно преобразовать в такие, которые будут удобны для рассмотрения поверхностей разрыва.
В строго однородной среде обе величины 𝑟 и 𝐾 являются постоянными, так что мы находим
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
=
-4π
ρ
𝐾
=
𝑟
𝑑ρ
𝑑𝑡
,
(3)
откуда
ρ
=
𝐶 exp
⎛
⎜
⎝
-
4π
𝐾𝑟
𝑡
⎞
⎟
⎠
,
(4)
или, если положим
𝑇
=
𝐾𝑟
4π
,
ρ
=
𝐶 exp
⎛
⎜
⎝
-
𝑟
𝑇
⎞
⎟
⎠
.
(5)
Этот результат показывает, что если на однородную среду действуют любые внешние электрические силы и если в объёме среды первоначально был любым способом создан электрический заряд, этот внутренний заряд будет вымирать со скоростью, которая не зависит от внешних сил, так что в конце концов внутри среды не будет электрического заряда, после чего никакие внешние силы не смогут ни создать, ни удержать заряд в любой внутренней части среды, если только соотношение между электродвижущей силой, электрической поляризацией и током остаётся неизменным. Если возникает пробой, эти соотношения теряют свою справедливость, и внутренний заряд может быть создан.
О прохождении тока через конденсатор
326. Пусть 𝐶 - ёмкость конденсатора, 𝑅 - его сопротивление, а 𝐸 - электродвижущая сила, действующая на конденсатор, т. е. разность потенциалов на поверхностях металлических электродов.
Тогда количество электричества на той стороне, от которой действует электродвижущая сила, будет равно 𝐶𝐸, а ток через вещество конденсатора в направлении электродвижущей силы будет равен 𝐸/𝑅.
Если предполагается, что электризация производится электродвижущей силой 𝐸 действующей на контур, частью которого является рассматриваемый конденсатор, и если 𝑑𝑄/𝑑𝑡 есть ток в этом контуре, то
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
𝐸
𝑅
+
𝐶
𝑑𝐸
𝑑𝑡
.
(6)
Введём в эту цепь батарею с электродвижущей силой 𝐸0, сопротивление которой вместе с сопротивлением подводящих проводов равно 𝑟1, тогда
𝑑𝑄
𝑑𝑡
=
𝐸0-𝐸
𝑟1
=
𝐸
𝑅
+
𝐶
𝑑𝐸
𝑑𝑡
.
(7)
Таким образом, в любое время 𝑡1
𝐸
(=𝐸
1
)
=
𝐸
0
𝑅
𝑅+𝑟1
(1-𝑒
-𝑡1/𝑇1
)
, где
𝑇
1
=
𝐶𝑅𝑟1
𝑅+𝑟1
.
(8)
Пусть, далее, цепь с сопротивлением 𝑟1 разрывается на время 𝑡2. Полагая 𝑟1 бесконечной величиной, мы получим из (7)
𝐸
(=𝐸
2
)
=
𝐸
1
𝑒
-𝑡1/𝑇1
, где
𝑇
1
=
𝐶𝑅
.
(9)
Наконец, соединим поверхности конденсатора проводом, сопротивление которого равно 𝑟3, и пусть длительность этого соединения равна 𝑡3, тогда, полагая в (7) 𝐸0, 𝑟1=𝑟3, мы получим
𝐸
(=𝐸
3
)
=
𝐸
2
𝑒
-𝑡3/𝑇3
, где
𝑇
3
=
𝐶𝑅𝑟3
𝑅+𝑟3
.
(10)
Если 𝑄3 есть полный разряд через этот провод за время 𝑡3, то