Мы тогда имеем 𝑋1=𝑟1𝑝 и т. д., и поэтому, с учётом (10),
𝐸
0
=
(𝑟
1
𝑎
1
+𝑟
2
𝑎
2
+ и т.д.)
𝑝
.
(17)
Если 𝑅 - полное сопротивление системы, то
𝑅
=
𝐸0
𝑝
=
𝑟
1
𝑎
1
+𝑟
2
𝑎
2
+ и т.д.
(18)
В этом состоянии из (2) имеем
ƒ
1
=
𝑟1
4π𝑘1
𝑝
,
так что
σ
12
=
⎛
⎜
⎝
𝑟2
4π𝑘2
-
𝑟1
4π𝑘1
⎞
⎟
⎠
𝑝
.
(19)
Если мы теперь быстро соединим крайние слои проводом с малым сопротивлением, значение 𝐸 быстро изменится от начального значения 𝐸0 до нуля, а через проводник пройдёт некоторое количество электричества 𝑄.
Для того чтобы определить величину 𝑄, заметим, что если 𝑋'1 есть новое значение величины 𝑋1 то, с учётом (13),
𝑋'
1
=
𝑋
1
+
4π𝑘
1
𝑄
.
(20)
Отсюда, с учётом (10), полагая 𝐸0, получаем
0
=
𝑎
1
𝑋
1
+ и т.д.+
4π
(𝑎
1
𝑘
1
+𝑎
2
𝑘
2
+ и т.д.)
𝑄
,
(21)
или
0
=
𝐸
0
+
1
𝐶
𝑄
.
(22)
Отсюда 𝑄=-𝐶𝐸0, где 𝐶 - ёмкость, определяемая уравнением (16). Таким образом, мгновенный разряд равен мгновенному заряду.
Предположим теперь, что немедленно после разряда соединение разрывается. Тогда мы будем иметь 𝑢=0, так что, согласно уравнению (8),
𝑋
1
=
𝑋'
1
exp
⎛
⎜
⎝
-
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
,
(23)
где 𝑋'1 есть начальное значение после разряда.
Отсюда для любого момента 𝑡 получаем, с учётом (23) и (20):
𝑋
1
=
𝐸
0
⎧
⎨
⎩
𝑟1
𝑅
-
4π𝑘
1
𝐶
⎫
⎬
⎭
exp
⎛
⎜
⎝
-
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
.
Поэтому значение 𝐸 в любой момент равно
𝐸
0
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑎1𝑟1
𝑅
-
4π𝑎
1
𝑘
1
𝐶
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
-
4π𝑘1
𝑟1
⎞
⎟
⎠
𝑡
+
+
⎛
⎜
⎝
𝑎2𝑟2
𝑅
-
4π𝑎
2
𝑘
2
𝐶
⎞
⎟
⎠
exp
⎛
⎜
⎝
-
4π𝑘2
𝑟2
⎞
⎟
⎠
𝑡
+ и т.д.
⎫
⎬
⎭
,
(24)
и мгновенный заряд по истечении любого времени 𝑡 равен 𝐸𝐶. Эта величина и называется остаточным разрядом.
Если отношение 𝑟/𝑘 имеет одно и то же значение для всех слоёв, величина 𝐸 сводится к нулю. Если, однако, это отношение не одинаково, расположим слагаемые в соответствии со значением этого отношения, в порядке уменьшения величины.
Сумма всех коэффициентов, очевидно, равна нулю, так что при 𝑡=0 имеем 𝐸=0. Коэффициенты также расположены в порядке уменьшения величины, и таким же оказывается порядок расположения экспоненциальных членов при положительных значениях 𝑡. Таким образом, при положительных 𝑡 величина 𝐸 также будет положительной, т. е. остаточный разряд всегда имеет тот же знак, что и первичный разряд.