Если 𝑠 - длина дуги, отмеряемая от точки А, а результирующая напряжённость 𝑅 в каждой точке кривой образует угол ε с касательной к кривой, проведённой в положительном направлении, то работа,- совершенная над единичным электрическим зарядом при его перемещении вдоль элемента кривой 𝑑𝑠 равна 𝑅 cos ε𝑑𝑠 а полная электродвижущая сила 𝐸 равна
𝐸
=
𝑠
∫
0
𝑅 cos ε
𝑑𝑠
,
где интегрирование производится от начала до конца дуги.
Если использовать составляющие напряжённости, то это выражение примет вид
𝐸
=
𝑠
∫
0
⎛
⎜
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑌
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝑍
𝑑𝑧
𝑑𝑠
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
Если 𝑋, 𝑌, 𝑍 таковы, что 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 образует полный дифференциал функции - 𝑉 от 𝑥, 𝑦, 𝑧, то
𝐸
=
𝑃
∫
𝐴
⎛
⎝
𝑋
𝑑𝑥
𝑌
𝑑𝑦
𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎠
=-
𝑃
∫
𝐴
𝑑𝑉
=
𝑉
𝐴
-
𝑉
𝑃
,
где интегрирование производится по любому пути от точки А к точке Р, будь то заданная кривая или любая другая линия, соединяющая А и Р.
Здесь 𝑉 - скалярная функция положения точки в пространстве, т. е. значение координат точки определяет значение 𝑉, причём это значение не зависит от положения и направления осей координат (см. п. 16).
О функциях положения точки
В последующем, описывая какую-либо величину как функцию положения точки, мы имеем в виду, что для каждого положения точки функция имеет определённое значение. Мы не подразумеваем при этом, что это значение всегда выражается одной и той же формулой для всех точек пространства; оно может выражаться одной формулой по одну сторону от некоторой поверхности и другой - по другую сторону.
О потенциальных функциях
70. Величина 𝑋𝑑𝑥+𝑌𝑑𝑦+𝑍𝑑𝑧 является полным дифференциалом во всех случаях, когда сила обусловлена притяжением или отталкиванием, напряжённость которых зависит от расстояний до некоторого числа точек. Если 𝑟 - расстояние одной из этих точек от точки (𝑥, 𝑦, 𝑧) a 𝑅 - напряжённость отталкивания, то
𝑋
1
=
𝑅
1
𝑥-𝑥1
𝑟1
=
𝑅
1
𝑑𝑥1
𝑑𝑥
и аналогично для 𝑌1 и 𝑍1 так что
𝑋
1
𝑑𝑥
+
𝑌
1
𝑑𝑦
+
𝑍
1
𝑑𝑧
=
𝑅
1
𝑑𝑟
1
,
а поскольку 𝑅1 зависит только от 𝑟1 то 𝑅1𝑑𝑟1 является полным дифференциалом некоторой функции от 𝑟1 скажем, -𝑉1.
Аналогично для любой другой силы 𝑅2, действующей из центра, находящегося на расстоянии 𝑟2,
𝑋
2
𝑑𝑥
+
𝑌
2
𝑑𝑦
+
𝑍
2
𝑑𝑧
=
𝑅
2
𝑑𝑟
2
=-
𝑉
2
.
Ho 𝑋=𝑋1+𝑋2+ и т. д., и аналогично 𝑌 и 𝑍, так что
𝑋
𝑑𝑥
+
𝑌
𝑑𝑦
+
𝑍
𝑑𝑧
=
-𝑑𝑉
1
-𝑑𝑉
2
- и т.д.=
-𝑑𝑉
.
Интеграл от этой величины, обращающийся в нуль на бесконечности, называется Потенциальной Функцией.
В теории притяжения эта функция была впервые применена Лапласом при расчёте притяжения Земли. Грин в своём исследовании «О применении математического анализа к электричеству» дал ей название Потенциальной Функции. Гаусс независимо от Грина также пользовался термином Потенциал. Клаузиус и другие понимали под Потенциалом работу, которая была бы совершена при удалении двух тел или систем на бесконечное расстояние друг от друга. Мы будем придерживаться применения этого слова в том смысле, в каком оно используется в последних английских работах и избегнем неопределённости, приняв следующее определение сэра У. Томсона.