Что касается первых производных от 𝑉 по 𝑥, 𝑦 или 𝑧, то они могут быть разрывны, и, согласно п. 8, точки разрыва должны лежать на поверхности, уравнение которой можно записать в виде
φ=φ(𝑥,𝑦𝑧)=0,
(1)
Эта поверхность отделяет область отрицательного φ от области положительного φ.
Пусть 𝑉1 - потенциал в произвольной заданной точке в отрицательной области, а 𝑉2 - потенциал в произвольной заданной точке положительной области. Тогда в любой точке на поверхности, где φ=0, которую можно считать принадлежащей обеим областям,
𝑉
1
+
𝐶
=
𝑉
2
,
(2)
где 𝐶 - постоянная разность потенциалов (если таковая имеется) между положительной и отрицательной сторонами поверхности.
Пусть 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы нормали ν2 в данной точке поверхности в сторону положительной области. Направляющие косинусы нормали ν1 в сторону отрицательной области будут -𝑙, -𝑚 и -𝑛.
Скорости изменения 𝑉 вдоль нормалей будут равны
𝑑𝑉1
𝑑ν1
=
-𝑙
𝑑𝑉1
𝑑𝑥
-𝑚
𝑑𝑉1
𝑑𝑦
-𝑛
𝑑𝑉1
𝑑𝑧
,
(3)
𝑑𝑉2
𝑑ν2
=
𝑙
𝑑𝑉2
𝑑𝑥
+𝑚
𝑑𝑉2
𝑑𝑦
+𝑛
𝑑𝑉2
𝑑𝑧
.
(3)
Проведём на поверхности какую-либо кривую, и пусть 𝑠 - длина, отсчитываемая вдоль этой кривой от некоторой фиксированной точки на ней. В каждой точке поверхности, а значит, и в каждой точке этой кривой, 𝑉2-𝑉1=𝐶. Дифференцируя это равенство по 𝑠, получим
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉2
𝑑𝑥
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉2
𝑑𝑦
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉2
𝑑𝑧
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=0,
(5)
а поскольку нормаль перпендикулярна этой кривой, то
𝑙
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+𝑚
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+𝑛
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=0.
(6)
Из (3), (4), (5) и (6) следует, что
𝑑𝑉2
𝑑𝑥
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑥
=
𝑙
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
,
(7)
𝑑𝑉2
𝑑𝑦
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑦
=
𝑚
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
,
(8)
𝑑𝑉2
𝑑𝑧
-
𝑑𝑉1
𝑑𝑧
=
𝑛
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
.
(9)
Если рассматривать изменение электродвижущей напряжённости в точке при прохождении через поверхность, то составляющая напряжённости, перпендикулярная поверхности, может скачком измениться на поверхности, но две другие составляющие, параллельные касательной плоскости, остаются непрерывными при пересечении поверхности.
78 б. Чтобы определить величину заряда на поверхности, рассмотрим замкнутую поверхность, находящуюся частично в положительной области и частично в отрицательной, так что она охватывает часть поверхности разрыва.
Поверхностный интеграл ∬𝑅 cos ε 𝑑𝑆 по этой поверхности равен 4π𝑒 где 𝑒 - количество электричества внутри замкнутой поверхности.
Повторяя рассуждения п. 21, получим
∬
𝑅 cos ε
𝑑𝑆
=
∭
⎛