Подставляя для ρ его значение по п. 77, получим
𝐴
=
1
4π
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑋
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(15)
Интегрирование по 𝑥 от 𝑥=𝑥1 до 𝑥=𝑥2 даёт
𝐴
=
1
4π
∬
⎡
⎢
⎣
1
2
(𝑋
2
2
-𝑋
2
1
)+
𝑥2
∫
𝑥1
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑋
𝑑𝑥
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(16)
Таково значение 𝐴 для слоя, параллельного плоскости 𝑦𝑧 толщиной 𝑥2-𝑥1.
Поскольку 𝑌 и 𝑍 непрерывны, то (𝑑𝑌/𝑑𝑦)+(𝑑𝑍/𝑑𝑦) конечно, а поскольку 𝑋 также конечно, то
𝑥2
∫
𝑥1
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑋
𝑑𝑥
<
𝐶
(𝑥
2
-𝑥
1
)
,
где 𝐶 - наибольшее значение [(𝑑𝑌/𝑑𝑦)+(𝑑𝑍/𝑑𝑦)]𝑋 между 𝑥=𝑥1 и 𝑥=𝑥2.
При неограниченном уменьшении 𝑥2-𝑥1 этот член стремится к нулю, так что
𝐴
=
∬
1
8π
(𝑋
2
2
-𝑋
2
1
)
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
(17)
где 𝑋1 - значение 𝑋 на отрицательной стороне поверхности, а 𝑋2 - на положительной.
Согласно п. 78б,
𝑋
2
-
𝑋
1
=
𝑑𝑉1
𝑑𝑥
-
𝑑𝑉2
𝑑𝑥
=
4πσ
,
(18)
так что (17) можно переписать в виде
𝐴
=
∬
1
2
(𝑋
2
+𝑋
1
)
σ
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(19)
Здесь 𝑑𝑦𝑑𝑧 - элемент поверхности, σ - поверхностная плотность, а (𝑋2+𝑋1)/2 - арифметическое среднее значение электродвижущих напряжённостей по обе стороны поверхности.
Таким образом, на элемент заряженной поверхности действует сила, составляющая которой по нормали к поверхности равна произведению заряда этого элемента на арифметическое среднее значений нормальной составляющей напряжённости по обе стороны поверхности.
Поскольку обе оставшиеся составляющие электродвижущей напряжённости не испытывают разрыва, вычисление их вклада в силу, действующую на поверхность, не вызывает осложнений.
Теперь мы можем считать, что нормаль к поверхности расположена произвольным образом относительно осей координат, и написать общее выражение для составляющих силы, действующей на элемент поверхности 𝑑𝑆:
𝐴
=
½
(𝑋
1
+𝑋
2
)
σ
𝑑𝑆
,
𝐵
=
½
(𝑌
1
+𝑌
2
)
σ
𝑑𝑆
,
𝐶
=
½
(𝑍
1
+𝑍
2
)
σ
𝑑𝑆
,
(20)
Заряженная поверхность проводника
80. Мы показали выше (п. 72), что всюду в веществе проводника при электрическом равновесии 𝑋=𝑌=𝑍=0, так что 𝑉 постоянно. Следовательно,
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
=
4πρ
=
0,
т.e. ρ равно нулю во всей толщине проводника: внутри проводника не может быть никаких зарядов.
Таким образом, на проводнике, находящемся в электрическом равновесии, возможно лишь поверхностное распределение электричества.
Распределение электричества в толще тела возможно лишь для непроводящих тел.
Поскольку внутри проводника результирующая напряжённость равна нулю, то вне проводника, непосредственно у его поверхности, она должна быть направлена по нормали к поверхности, равняться 4πσ и действовать в наружном направлении.