1
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝐾
2
𝑑𝑉2
𝑑ν2
+
4πρ
=
0,
(2)
где ν1, ν2 - нормали в сторону первой и второй среды, а σ - истинная поверхностная плотность заряда на поверхности раздела, т. е. количество электричества, фактически находящееся на поверхности в виде заряда, изменить которое можно, лишь подведя к данному месту или отведя от него какой-то заряд.
Кажущееся распределение электричества
83 б. Если исходить из фактического распределения потенциала и найти по нему объёмную плотность ρ' и поверхностную плотность σ' в предположении, что 𝐾 всюду равно единице, то величину ρ' можно назвать кажущейся объёмной плотностью, а σ' - кажущейся поверхностной плотностью, потому что полученное таким образом распределение электричества создавало бы фактически имеющееся распределение потенциала в предположении, что приведённый в п. 66 закон для электрической силы не требует никакой поправки для учёта различия в свойствах диэлектриков.
Кажущийся заряд электричества внутри заданного объёма может увеличиваться или уменьшаться без какого-либо прохождения электричества через границы этого объёма. Поэтому его следует отличать от истинного заряда, удовлетворяющего уравнению непрерывности.
В неоднородном диэлектрике, в котором 𝐾 меняется непрерывно, для кажущейся объёмной плотности ρ' справедливо соотношение
𝑑²𝑉
𝑑𝑥²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑦²
+
𝑑²𝑉
𝑑𝑧²
+
4πρ'
=
0.
(3)
Сопоставляя его с уравнением (1), получим
4π
(ρ-𝐾ρ')
+
𝑑𝐾
𝑑𝑥
𝑑𝑉
𝑑𝑥
+
𝑑𝐾
𝑑𝑦
𝑑𝑉
𝑑𝑦
+
𝑑𝐾
𝑑𝑧
𝑑𝑉
𝑑𝑧
=
0.
(4)
Истинная электризация, обозначаемая через ρ, создаст в диэлектрике с неоднородной индуктивной способностью, обозначаемой через 𝐾 такой же потенциал в каждой точке, какой создала бы кажущаяся электризация с плотностью ρ' в диэлектрике с индуктивной способностью, равной всюду единице.
Кажущаяся поверхностная плотность ρ' определяется по электрическим силам, действующим в окрестности поверхности с помощью обычного характеристического уравнения
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝑑𝑉2
𝑑ν2
+
4πρ'
=
0.
Если твёрдый диэлектрик произвольной формы является идеальным изолятором и на его поверхность не внесён никакой заряд, то истинный заряд на ней равен нулю, каковы бы ни были действующие на неё электрические силы. Таким образом,
𝐾
1
𝑑𝑉1
𝑑ν1
+
𝐾
2
𝑑𝑉2
𝑑ν2
=
0,
откуда
𝑑𝑉1
𝑑ν1
=
4πσ𝐾2
𝐾1-𝐾2
,
𝑑𝑉2
𝑑ν2
=
4πσ𝐾1
𝐾2-𝐾1
.
Поверхностная плотность σ' - это кажущаяся электризация, создаваемая индукцией на поверхности твёрдого диэлектрика. Она полностью исчезает при устранении индуцирующей силы, но если в период действия индуцирующей силы разрядить кажущуюся электризацию поверхности, проведя по ней пламенем, то после устранения индуцирующей силы появится истинная электризация, равная и противоположная σ' 4.
4 См. Фарадей «Remarks on Static Induction», Proceedings of the Royal Institution, Feb. 12, 1858.
ПРИЛОЖЕНИЕ К ГЛАВЕ II
Уравнения
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
4πρ
=
0,
𝐾
1
𝑑𝑉
𝑑ν1
+
𝐾
2
𝑑𝑉
𝑑ν2
+
4πρ
=
0
выражают условие, что смещение через любую замкнутую поверхность отличается множителем 4π от количества электричества внутри неё. Первое уравнение получается сразу при применении этого принципа к параллелепипеду, грани которого перпендикулярны координатным осям, а второе - применением к цилиндру, охватывающему элемент заряженной поверхности.