Предваряя результаты следующей главы, мы можем вывести эти уравнения непосредственно из фарадеевского определения удельной индуктивной способности. Рассмотрим случай конденсатора, состоящего из двух бесконечных параллельных пластин. Пусть 𝑉1 и 𝑉2 - потенциалы этих пластин, 𝑑 - расстояние между ними, а 𝐸 - заряд на площади 𝐴 одной из пластин. Тогда, если 𝐾 - удельная индуктивная способность разделяющего их диэлектрика, то
𝐸
=
𝐾𝐴
𝑉1-𝑉2
4π𝑑
.
Энергия системы 𝑄 согласно п. 84, равна
1
2
𝐸
(𝑉
1
-𝑉
2
)
=
1
2
𝐾𝐴
(𝑉1-𝑉2)2
4π𝑑
,
или, если обозначить через 𝐹 электродвижущую напряжённость в произвольной точке между пластинами, 𝑄=(1/8π)𝐾𝐴𝑑𝐹². Если мы считаем энергию сосредоточенной в диэлектрике, то на единицу объёма придётся энергия 𝑄=𝐴𝑑, так что количество энергии в единице объёма равно 𝐾𝐹²/8π. Этот результат остаётся справедливым и для неоднородного поля, так что энергия для произвольного электрического поля равна
𝑄
=
1
8π
∭
𝐾𝐹²
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=
1
8π
∭
𝐾
⎧
⎨
⎩
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
Предположим, что потенциал каждой точки поля увеличился на малую величину δ𝑉, где δ𝑉 - произвольная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, тогда вариация энергии δ𝑄 будет даваться уравнением
δ𝑄
=
1
4π
∭
⎛
⎜
⎝
𝐾
⎧
⎨
⎩
𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑δ𝑉
𝑑𝑥
+
𝑑𝑉
𝑑𝑦
𝑑δ𝑉
𝑑𝑦
+
+
𝑑𝑉
𝑑𝑧
𝑑δ𝑉
𝑑𝑧
⎫
⎬
⎭
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
или, согласно теореме Грина,
δ𝑄
=-
1
4π
∬
⎛
⎜
⎝
𝐾
1
𝑑𝑉
𝑑ν1
+
𝐾
2
𝑑𝑉
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑉
𝑑𝑆
-
-
1
4π
∭
⎧
⎨
⎩
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
⎫
⎬
⎭
𝑑𝑉
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где 𝑑ν1 и 𝑑ν2 - элементы нормалей к поверхности в сторону первой и второй среды соответственно.
Но согласно п. 85, 86
δ𝑄
=
∑
(𝑒δ𝑉)
=
∬
σδ𝑉
𝑑𝑆
+
∭
ρδ𝑉
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
и поскольку δ𝑉 произвольно, то
-
1
4π
⎛
⎜
⎝
𝐾
1
𝑑𝑉
𝑑ν1
+
𝐾
2
𝑑𝑉
𝑑ν2
⎞
⎟
⎠
=
σ,
-
1
4π
∭
⎧
⎨
⎩
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑑𝑉
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
+
𝑑
𝑑𝑦