1
∫
0
(𝑒'-𝑒)
[𝑉+𝑛(𝑉'-𝑉)]
𝑒𝑛
=
1
2
(𝑒'-𝑒)
(𝑉'+𝑉)
,
так что если 𝑊 - энергия системы в состоянии (𝑒',𝑉'), то
𝑊'-𝑊
=
1
2
∑
(𝑒'-𝑒)
(𝑉'+𝑉)
.
(4)
Но
𝑊
=
1
2
∑
(𝑒,𝑉)
,
и
𝑊'
=
1
2
∑
(𝑒',𝑉')
.
Подставляя эти значения в (4), получим
∑
(𝑒,𝑉')
=
∑
(𝑒',𝑉)
.
Таким образом, если рассмотреть два различных состояния электризации одной и той же заданной системы заряженных проводников, то сумма произведений зарядов в первом состоянии на значения потенциалов соответствующих проводников во втором состоянии равна сумме произведений зарядов во втором состоянии на потенциалы соответствующих проводников в первом состоянии.
Это соотношение из элементарной теории электричества соответствует Теореме Грина из аналитической теории. Выбрав надлежащим образом начальное и конечное состояние системы, можно получить целый ряд полезных результатов.
85 б. Из (4) и (5) можно прийти к другому выражению для превращения энергии, где оно выражается через приращение потенциала:
𝑊'-𝑊
=
1
2
∑
(𝑒'-𝑒)
(𝑉'+𝑉)
.
(6)
Для бесконечно малых приращений (4) и (6) запишутся в виде
𝑑𝑊
=
∑
(𝑉δ𝑒)
=
∑
(𝑒δ𝑉)
.
(7)
Если обозначить через 𝑊𝑒 и 𝑊𝑉 выражения для 𝑊 соответственно через заряды и через потенциалы системы, а через 𝐴𝑟, 𝑒𝑟, и 𝑉𝑟 - один из проводников системы, его заряд и его потенциал, то
𝑉
𝑟
=
(𝑑𝑊
𝑒
/𝑑𝑒
𝑟
)
,
(8)
𝑒
𝑟
=
(𝑑𝑊
𝑉
/𝑑𝑉
𝑟
)
.
(9)
86. Пусть в произвольно заданной системе проводников какой-либо из них, который мы обозначим через 𝐴𝑡, не имеет заряда ни в начальном, ни в конечном состоянии, тогда для этого проводника 𝑒𝑡=0 и 𝑒'𝑡=0, так что члены, соответствующие проводнику 𝐴𝑡, отсутствуют в обеих частях равенства (5).
Если какой-либо другой проводник, скажем 𝐴𝑡, имеет нулевой потенциал в обоих состояниях системы, то 𝑉𝑡=0, и 𝑉'𝑡=0, так что соответствующие проводнику 𝐴𝑡 члены отсутствуют в обеих частях равенства (6).
Предположим теперь, что все проводники, за исключением двух, скажем 𝐴𝑟 и 𝐴𝑠, либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, тогда уравнение (5) примет вид
𝑒
𝑟
𝑉'
𝑟
+
𝑒
𝑠
𝑉'
𝑠
=
𝑒'
𝑟
𝑉
𝑟
+
𝑒'
𝑠
𝑉
𝑠
.
(10)
Пусть в начальном состоянии 𝑒𝑟=1 и 𝑒𝑟=0, а в конечном 𝑒'𝑟=0 и 𝑒𝑟=1, тогда уравнение (10) примет вид
𝑉'
𝑟
=
𝑉
𝑠
,
(11)
т.е. если единичный заряд, сообщённый проводнику 𝐴𝑟 повышает потенциал изолированного проводника 𝐴𝑠 до 𝑉, то единичный заряд, сообщённый проводнику 𝐴𝑟, повышает потенциал изолированного проводника 𝐴𝑠 до того же значения 𝑉 при условии, что все остальные проводники системы либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, так что их потенциал равен нулю.
Здесь мы впервые встречаемся в области электричества с соотношением взаимности. Такие соотношения взаимности встречаются во всех областях знания и помогают нам часто находить решения новых задач по известным решениям более простых задач.
Так, из того факта, что в точке вне проводящей сферы с единичным зарядом потенциал равен 𝑟-1, где 𝑟 - расстояние от центра сферы, мы заключаем, что малое тело с единичным зарядом, помещённое на расстоянии 𝑟 от центра проводящей незаряженной сферы, подымает её потенциал до значения 𝑟-1.