…
+
𝑝
𝑛
₁𝑒
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑉
𝑠
=
𝑝
𝑠
₁𝑒₁
+
…
+
𝑝
𝑟
𝑠
𝑒
𝑟
+
…
+
𝑝
𝑛
𝑠
𝑒
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑉
𝑛
=
𝑝
𝑛
₁𝑒₁
+
…
+
𝑝
𝑟
𝑛
𝑒
𝑟
+
…
+
𝑝
𝑛
𝑛
𝑒
𝑛
,
(16)
выражающих 𝑛 потенциалов через 𝑛 зарядов.
Коэффициенты 𝑝𝑟𝑠 называются коэффициентами потенциала. Каждый коэффициент имеет два индекса, первый из которых указывает на заряд, а второй - на потенциал.
Коэффициент 𝑝𝑟𝑟 с одинаковыми индексами показывает величину потенциала проводника 𝐴𝑟 при единичном заряде на нём и при нулевых зарядах на всех остальных проводниках. Существует 𝑛 таких коэффициентов по числу проводников.
Коэффициент 𝑝𝑟𝑠 с разными индексами показывает величину потенциала на проводнике 𝐴𝑠 при единичном заряде на проводнике 𝐴𝑟 и при нулевых зарядах всех остальных проводников, кроме 𝐴𝑟.
Мы уже показали в п. 86, что 𝑝𝑟𝑠=𝑝𝑠𝑟. Мы можем доказать это сейчас короче, рассмотрев цепочку равенств
𝑝
𝑟𝑠
=
𝑑𝑉𝑠
𝑑𝑒𝑟
=
𝑑
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑠
=
𝑑
𝑑𝑒𝑠
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑟
=
𝑝
𝑠𝑟
.
(17)
Число различных коэффициентов с двумя отличающимися индексами равно, следовательно, 𝑛(𝑛-1)/2, по одному для каждой пары проводников.
Решая уравнения (16) относительно 𝑒1, 𝑒2 и т. д., мы получим 𝑛 уравнений, выражающих заряды через потенциалы
𝑒₁
=
𝑞₁₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
₁𝑉
𝑟
+
…
+
𝑞
𝑛
₁𝑉
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑒
𝑠
=
𝑞
𝑠
₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
𝑠
𝑉
𝑟
+
…
+
𝑞
𝑛
𝑠
𝑉
𝑛
,
…
…
…
…
…
…
𝑒
𝑛
=
𝑞
𝑛
₁𝑉₁
+
…
+
𝑞
𝑟
𝑛
𝑉
𝑛
+
…
+
𝑞
𝑛
𝑛
𝑉
𝑛
,
(18)
В этом случае также 𝑞𝑟𝑠=𝑞𝑠𝑟, так как
𝑞
𝑟𝑠
=
𝑑𝑒𝑟
𝑑𝑉𝑠
=
𝑑
𝑑𝑉𝑠
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑟
=
𝑑
𝑑𝑉𝑟
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑠
=
𝑞
𝑠𝑟
.
(19)
Подставляя значения зарядов в выражение для электрической энергии
𝑊
=
[
𝑒
1
𝑉
1
+…+
𝑒
𝑟
𝑉
𝑟
+…+
𝑒
𝑛
𝑉
𝑛
]/2
,
(20)
мы получим выражение для энергии через потенциалы
𝑊
𝑉
=
1
2
𝑞₁₁
𝑉₁²
+
𝑞₁₂
𝑉₁
𝑉₂
+
1
2
𝑞₂₂
𝑉₂²
+