89 г. Если в поле имеется единственный проводник, то его собственный коэффициент потенциала равен обратной величине его ёмкости.
Центр распределения электричества в отсутствие внешних сил называется электрическим центром проводника. Если проводник симметричен относительно своего геометрического центра, то эта точка и является электрическим центром. Если размеры проводника малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, то положение электрического центра можно определить достаточно точно на глаз.
Потенциал на расстоянии 𝑐 от электрического центра имеет значение между
𝑒
𝑐
⎛
⎜
⎝
1+
𝑎²
𝑐²
⎞
⎟
⎠
и
𝑒
𝑐
⎛
⎜
⎝
1-
𝑎²
𝑐²
⎞
⎟
⎠
где 𝑒 - заряд проводника, а 𝑎 -наибольшее расстояние точек его поверхности от электрического центра.
Действительно, если предположить, что заряд сосредоточен в двух точках, находящихся на расстоянии 𝑎 по обе стороны от электрического центра, то первое из приведённых выражений даст потенциал в точке, лежащей на прямой, соединяющей заряды, а второе - на перпендикулярной ей прямой. Для всех остальных распределений заряда внутри сферы радиуса 𝑎 потенциал будет иметь значение, промежуточное между этими двумя.
Если в поле имеется два проводника, то их взаимный коэффициент потенциала равен 1/𝑐', где 𝑐' отличается от расстояния 𝑐 между их электрическими центрами не больше чем на (𝑎²+𝑏²)/𝑐. Здесь 𝑎 и 𝑏 - наибольшие расстояния точек поверхностей обоих тел от их электрических центров.
89 д. Если в поле вносится новый проводник, то собственные коэффициенты потенциала всех остальных проводников уменьшаются.
Действительно, предположим сначала, что новое тело 𝐵 - диэлектрик (с такой же удельной индуктивной способностью, как у воздуха) и не несёт на себе никаких зарядов. Тогда если одному из проводников 𝐴1 сообщить заряд 𝑒1, то на распределение электричества на проводниках тело 𝐵 не повлияет, так как 𝐵 остаётся всюду незаряженным, и электрическая энергия системы будет просто равна (𝑒₁𝑉₁)/2 = (𝑒₁²𝑝₁₁)/2.
Пусть теперь 𝐵 становится проводником. Заряд начнёт по нему перетекать из областей с большим потенциалом в области с меньшим потенциалом, при этом электрическая энергия системы уменьшится, так что величина (𝑒₁²𝑝₁₁)/2 должна уменьшиться.
Поскольку 𝑒₁ остаётся постоянным, должно уменьшиться 𝑝₁₁.
Если к телу 𝐵 будет добавлено другое тело 𝑏, находящееся в контакте с ним, то 𝑝₁₁ ещё больше уменьшится.
В самом деле, предположим сначала, что тела 𝐵 и 𝑏 не соединены. Внесение нового тела 𝑏 уменьшит 𝑝₁₁. Пусть после этого тела 𝐵 и 𝑏 соединены. Если какой-либо заряд перейдёт с одного тела на другое, то он пойдёт от большего потенциала к меньшему, так что, как мы показали, 𝑝₁₁ опять уменьшится.
Таким образом, уменьшение 𝑝₁₁ проводящим телом 𝐵 больше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого вписывается в 𝐵, и меньше того, которое было бы при внесении любого проводника, поверхность которого охватывает 𝐵.
В главе XI мы покажем (п. 146), что сфера диаметром 𝑏 на расстоянии 𝑟, большом по сравнению с 𝑏, уменьшает величину 𝑝₁₁ приблизительно на 𝑏3/(8𝑟4).
Отсюда следует, что если тело 𝐵 любой другой формы, и 𝑏 - его наибольший поперечный размер, то уменьшение 𝑝₁₁ должно быть меньше 𝑏3/(8𝑟4).
Поэтому если наибольший размер тела 𝐵 настолько мал по сравнению с расстоянием от тела 𝐴1 что величинами порядка 𝑏3/(8𝑟4) мы можем пренебречь, то в качестве достаточного приближения для 𝑝₁₁ можно рассматривать обратную величину ёмкости уединённого тела 𝐴1.
90 а. Пусть ёмкость уединённого проводника 𝐴1 равна 𝐾1, ёмкость уединённого проводника 𝐴2 равна 𝐾2, и пусть среднее расстояние между этими проводниками равно 𝑟, причём 𝑟 очень велико по сравнению с наибольшими поперечными размерами 𝐴1 и 𝐴2. Тогда 𝑝₁₁=(1/𝐾1), 𝑝₁₂=(1/𝑟), 𝑝₂₂=(1/𝐾2), 𝑉₁=𝑒₁𝐾₁-1+𝑒₂𝑟-1, 𝑉₂=𝑒₁𝑟-1+𝑒₂𝐾₂-1.
Отсюда 𝑞₁₁=𝐾₁(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1, 𝑞₁₂=𝐾₁𝐾₂𝑟-1(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1, 𝑞₂₂=𝐾₂(1-𝐾₁𝐾₂𝑟-2)-1.
Здесь 𝑞₁₁ и 𝑞₂₂ -ёмкости проводников 𝐴1 и 𝐴2, когда они уже не удалены по отдельности на бесконечное расстояние от всех тел, а помещены на расстоянии 𝑟 друг от друга.