90 б. Если два проводника настолько близки друг к другу, что их коэффициент взаимной индукции велик, то такую комбинацию мы называем Конденсатором.
Пусть 𝐴 и 𝐵 - два проводника (электрода) конденсатора.
Пусть 𝐿 - ёмкость 𝐴, 𝑁 - ёмкость 𝐵, а 𝑀 - коэффициент взаимной индукции (следует помнить, что 𝑀 отрицательно, так что численные значения 𝐿+𝑀 и 𝐿+𝑁 меньше, чем 𝐿 и 𝑁).
Пусть 𝑎 и 𝑏 - электроды другого конденсатора, находящегося на расстоянии 𝑅 от первого, причём 𝑅 много больше размеров каждого конденсатора, и пусть коэффициенты ёмкости и индукции уединённого конденсатора 𝑎𝑏 равны соответственно 𝑙, 𝑛, 𝑚. Рассчитаем влияние одного из конденсаторов на коэффициенты другого.
Положим
𝐷
=
𝐿𝑁-𝑀²
,
𝑑
=
𝑙𝑛-𝑚²
.
Тогда коэффициенты потенциала для каждого из конденсаторов в отдельности будут равны
𝑝
𝐴𝐴
=
𝐷
-1
𝑁,
𝑝
𝑎𝑎
=
𝑑
-1
𝑛,
𝑝
𝐴𝐵
=
-𝐷
-1
𝑀,
𝑝
𝑎𝑏
=
-𝑑
-1
𝑚,
𝑝
𝐵𝐵
=
𝐷
-1
𝐿,
𝑝
𝑏𝑏
=
𝑑
-1
𝑙.
Значения этих коэффициентов существенно не изменятся от присутствия другого конденсатора на расстоянии 𝑅.
Коэффициент потенциала для любых двух проводников, находящихся на расстоянии 𝑅 равен 𝑅-1, так что 𝑝𝐴𝑎 = 𝑝𝐴𝑏 = 𝑝𝐵𝑎 = 𝑝𝐵𝑏 = 𝑅-1.
Таким образом, уравнения для потенциала имеют вид
𝑉
𝐴
=
𝐷
-1
𝑁𝑒
𝐴
-
𝐷
-1
𝑀𝑒
𝐵
+
𝑅
-1
𝑒
𝑎
+
𝑅
-1
𝑒
𝑏
,
𝑉
𝐵
=
-𝐷
-1
𝑀𝑒
𝐴
-
𝐷
-1
𝐿𝑒
𝐵
+
𝑅
-1
𝑒
𝑎
+
𝑅
-1
𝑒
𝑏
,
𝑉
𝑎
=
𝑅
-1
𝑒
𝐴
+
𝑅
-1
𝑒
𝐵
+
𝑑
-1
𝑛𝑒
𝑎
-
𝑑
-1
𝑚𝑒
𝑏
,
𝑉
𝑏
=
𝑅
-1
𝑒
𝐴
+
𝑅
-1
𝑒
𝐵
-
𝑑
-1
𝑚𝑒
𝑎
+
𝑑
-1
𝑙𝑒
𝑏
.
Решая эти уравнения относительно зарядов, получим
𝑞
𝐴𝐴
=
𝐿'
=
𝐿
+
(𝐿+𝑀)²(𝑙+2𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝐵
=
𝑀'
=
𝑀
(𝐿+𝑀)(𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝑎
=-
𝑅(𝐿+𝑀)(𝑙+𝑚)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
𝑞
𝐴𝑏
=-
𝑅(𝐿+𝑀)(𝑚+𝑛)
𝑅²-(𝐿+2𝑀+𝑁)(𝑙+2𝑚+𝑛)
,
где 𝐿', 𝑀', 𝑁' - значения 𝐿, 𝑀, 𝑁' при внесении второго конденсатора в поле.
Если в поле вносится лишь один проводник 𝑎, то 𝑚=𝑛=0 и
𝑞
𝐴𝐴
=
𝐿'
=
𝐿
+
(𝐿+𝑀)²𝑙
𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)
,
𝑞
𝐴𝐵
=
𝑀'
=
𝑀
(𝐿+𝑀)(𝑀+𝑁)𝑙
𝑅²-𝑙(𝐿+2𝑀+𝑁)
,
𝑞
𝐴𝑎