И, в-третьих, 𝑊𝑉=(1/2)∑∑(𝑉𝑟𝑉𝑠𝑞𝑟𝑠), где суммирование производится как и выше. Это функция от 𝑛 потенциалов и от переменных, определяющих конфигурацию, одной из которых является φ.
Поскольку 𝑊=𝑊𝑒=𝑊𝑉, то 𝑊𝑒+𝑊𝑉-2𝑊=0.
Представим себе, что 𝑛 зарядов, 𝑛 потенциалов и φ как-то меняются согласованным образом. Тогда
∑
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑒
𝑑𝑒𝑟
-
𝑉
𝑟
⎞
⎟
⎠
δ𝑒
𝑟
⎤
⎥
⎦
+
∑
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑉
𝑑𝑉𝑠
-
𝑒
𝑠
⎞
⎟
⎠
δ𝑉
𝑠
⎤
⎥
⎦
+
+
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑊𝑒
𝑑φ
+
𝑑𝑊𝑉
𝑑φ
⎞
⎟
⎠
δφ
=
0.
Однако 𝑛 зарядов, 𝑛 потенциалов и φ не являются независимыми, так как лишь 𝑛+1 из этих величин независимы. Но мы уже доказали, что (𝑑𝑊𝑒/𝑑𝑒𝑟)=𝑉𝑟, так что первая сумма тождественно обращается в нуль. Отсюда следует, что (𝑑𝑊𝑉/𝑑𝑉𝑠) = 𝑒𝑠. (даже если бы мы это уже не доказали раньше) и, наконец, что (𝑑𝑊𝑒/𝑑φ) + (𝑑𝑊𝑉/𝑑φ) = 0.
Работа, совершаемая электрическими силами при перемещении системы проводников, потенциалы которых поддерживаются постоянными
93 в. Из последнего уравнения следует, что сила равна Φ=(𝑑𝑊𝑉/𝑑𝑉𝑠), так что если система перемещается при условии, что все потенциалы остаются постоянными, то работа, совершаемая электрическими силами, равна
∫
Φ𝑑φ
=
∫
𝑑𝑊
𝑉
=
𝑊'
𝑉
-𝑊
𝑉
,
т.е. равна в этом случае приращению электрической энергии.
Таким образом, мы имеем здесь увеличение энергии при одновременном совершении системой работы. Следовательно, в систему должна подводиться энергия от какого-либо внешнего источника, например от вольтовой батареи, обеспечивающей постоянство потенциалов при перемещении.
Совершаемая батареей работа равна, следовательно, сумме совершаемой системой работы и приращения энергии, а поскольку они равны, то работа, совершаемая батареей, равна удвоенной работе, совершаемой системой проводников при перемещении.
О сравнении подобных заряженных систем
94. Если две заряженные системы геометрически подобны, так что соответствующие длины в этих системах относятся как 𝐿 к 𝐿', и если диэлектрик, разделяющий проводники в обеих системах, один и тот же, то коэффициенты индукции и ёмкости этих систем относятся как 𝐿 к 𝐿'. Действительно, если рассмотреть соответствующие части 𝐴 и 𝐴' этих систем и предположить, что количество электричества на 𝐴 равно 𝑒, а на 𝐴' равно 𝑒', то создаваемые этими зарядами потенциалы 𝑉 и 𝑉' в соответствующих точках 𝐵 и 𝐵' будут равны 𝑉=(𝑒/𝐴𝐵), 𝑉'=(𝑒'/𝐴'𝐵'). Но 𝐴𝐵 относится к 𝐴'𝐵' как 𝐿 к 𝐿', так что 𝑒:𝑒 = 𝐿𝑉:𝐿'𝑉'.
В случае же, когда индуктивные способности диэлектриков в этих системах различны и равны 𝐾 для первой и 𝐾' для второй, если потенциалы в соответствующих точках первой и второй систем относятся как 𝑉 к 𝑉', а заряды в соответствующих частях систем - как 𝑒 к 𝑒', то 𝑒:𝑒' = 𝐿𝑉𝐾:𝐿'𝑉'𝐾'. По этой пропорции мы можем находить отношение полных зарядов соответствующих частей двух систем, которые, во-первых, геометрически подобны, во-вторых, содержат среды, удельные индуктивные способности которых относятся друг к другу в соответствующих точках как 𝐾 и 𝐾', и, в-третьих, заряжены так, что их потенциалы в соответствующих точках относятся как 𝑉 к 𝑉'.
Отсюда следует, что если 𝑞 - какой-либо коэффициент ёмкости или индукции первой системы, a 𝑞' - соответствующий коэффициент второй системы, то 𝑞:𝑞' = 𝐿𝐾:𝐿'𝐾', а если 𝑝 и 𝑝' - соответствующие коэффициенты потенциала в обеих системах, то 𝑝:𝑝' = (1/𝐿𝐾):(1/𝐿'𝐾').
Если одно из тел смещено в первой системе, а соответствующее ему тело смещено подобным образом во второй системе, то эти смещения относятся как 𝐿 к 𝐿'; если действующие на тела силы обозначить через 𝐹 к 𝐹', то работы, совершенные в обеих системах, относятся как 𝐹𝐿 к 𝐹'𝐿'.