Тем самым мы не только установим математическую эквивалентность обоих выражений, но и подготовимся к переходу от теории прямого действия на расстоянии к теории взаимодействия смежных элементов среды.
95 б. Рассматриваемые в этой главе теоремы относятся к свойствам некоторых объёмных интегралов, взятых по конечной области пространства, которую мы будем называть электрическим полем.
Элементами этих интегралов, т. е. входящими в подынтегральное выражение величинами, являются либо квадрат некоторого вектора, величина и направление которого меняются от точки к точке, либо произведение одного вектора на проекцию другого вектора на его направление.
Из различных распределений векторной величины в пространстве два распределения представляют особый интерес.
Первое распределение - это такое, при котором вектор может быть представлен как пространственная вариация (см. п. 17) скалярной функции, называемой Потенциалом.
Такое распределение можно назвать невращательным, Безвихревым. Равнодействующая сила, возникающая из-за притяжения или отталкивания любой совокупности центров сил, при любом законе зависимости силы от расстояния имеет безвихревое распределение.
Второй тип распределения - такое распределение, при котором конвергенция (сходимость) (п. 25) равна нулю в каждой точке. Такое распределение можно назвать Соленоидальным. Скорость несжимаемой жидкости имеет соленоидальное распределение.
Если центральные силы, которые, как мы уже говорили, дают безвихревое распределение равнодействующей силы, меняются обратно пропорционально квадрату расстояния и если центры сил находятся вне поля, то распределение силы в поле будет как соленоидальным, так и безвихревым.
Если движение несжимаемой жидкости, которое, как мы уже отмечали, является соленоидальным, происходит под действием центральных сил, зависящих от расстояния, или под действием поверхностного давления на первоначально покоившуюся жидкость без трения, то распределение скоростей будет как безвихревым, так и соленоидальным.
Распределение, являющееся одновременно безвихревым и соленоидальным, мы будем называть Лапласовым распределением, поскольку Лаплас указал на ряд наиболее интересных свойств этого распределения.
Рассматриваемые в этой главе объёмные интегралы представляют собой, как мы увидим, выражения для энергии электрического поля. В первой группе теорем, начинающейся с теоремы Грина, энергия выражается через напряжённость электрического поля, являющуюся безвихревым вектором во всех случаях равновесия электричества. Показывается, что при заданных потенциалах поверхностей из всех безвихревых распределений наименьшую энергию имеет распределение, являющееся также и соленоидальным. Отсюда следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с потенциалами поверхностей.
Во второй группе теорем, включающей теорему Томсона, энергия выражается через электрическое смещение, являющееся соленоидальным вектором. Показывается, что при заданных зарядах поверхностей из всех соленоидальных распределений распределение, имеющее наименьшую энергию, является также и безвихревым. Отсюда также следует, что возможно лишь одно лапласово распределение, согласующееся с заданными зарядами поверхностей.
Доказательство всех этих теорем проводится однотипно. Во избежание повторений мы каждый раз при проведении поверхностного интегрирования в прямоугольной системе координат будем использовать теорему III из п. 21 1 где дан подробный вывод соотношения между объёмным интегралом и соответствующим поверхностным интегралом. Нам нужно будет лишь подставить вместо 𝑋, 𝑌, и 𝑍 в формулировке теоремы составляющие конкретного рассматриваемого вектора.
1 Эта теорема была, по-видимому, впервые дана Остроградским в его работе, доложенной в 1828 г., но опубликованной лишь в 1831 г. в Mem. de L'Acad. de St. Pétersbourg. T. I, p. 39. Её можно рассматривать, однако, как одну из форм уравнения непрерывности.
В первом издании этой книги утверждения каждой теоремы осложнялись множеством взаимно исключающих условий, имевших целью показать степень общности теоремы и многообразие случаев её применения, однако это лишь приводило к смешению в умах читателей того, что предполагается, и того, что требуется доказать.
В настоящем издании каждая теорема сначала устанавливается в более определённой, подчас в более ограниченной, форме, а затем показывается возможность её дальнейших обобщений.