𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
=
=
-Ψ∇²Φ
-𝑆.
∇Ψ
∇Φ
,
(7)
согласно (2) и (3). По Теореме III
∬
𝑅 cos ε
𝑑𝑠
=
∭
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑋
𝑑𝑥
+
𝑑𝑌
𝑑𝑦
+
𝑑𝑍
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑ς
,
так что (6) и (7) дают
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
Ψ∇²Φ
𝑑ς
=
∭
𝑆.
∇Ψ
∇Φ
𝑑ς
.
(8)
Поскольку в правой части равенства Ψ и Φ можно поменять местами, это можно сделать и в левой части равенства. Таким образом, мы получили полное доказательство Теоремы Грина, даваемой равенством (4).
96 б. Теперь мы покажем, что Теорема Грина справедлива и в случае, когда одна из функций, скажем Ψ, многозначна, если её первые производные однозначны и не обращаются в бесконечность в односвязной области ς.
Поскольку ∇Ψ и ∇Φ однозначны, то средняя часть равенств (4) однозначна. Однако из-за многозначности Ψ оба слагаемых левой части равенств (4) многозначны. Но если выбрать какое-либо одно значение Ψ0 из многих значений Ψ в точке 𝐴 внутри области ς, то тем самым определяется значение функции Ψ в любой другой точке 𝑃. Действительно, поскольку выбранное значение Ψ является непрерывным внутри объёма, то значение Ψ в точке 𝑃 должно совпадать с тем решением, которое получается непрерывным изменением вдоль любого пути от 𝐴 к 𝑃, начиная со значения Ψ0 в точке 𝐴. Если бы значение Ψ в точке 𝑃 получалось различным для различных путей из 𝐴 в 𝑃, то эти два пути должны были бы охватывать замкнутую кривую, на которой первые производные от Ψ бесконечны. Но это противоречит нашим условиям. Поскольку первые производные по условию не обращаются в бесконечность внутри области ς, эта замкнутая кривая должна быть целиком вне этой области, а поскольку область односвязна, два пути внутри области не могут охватывать чего-либо вне области.
Таким образом, при заданном значении Ψ0 функции в точке 𝐴 её значение в точке 𝑃 определяется однозначно.
Если в точке 𝐴 выбрано какое-либо другое значение Ψ, скажем Ψ0+𝑛ϰ, то значение функции в точке 𝑃 будет Ψ+𝑛ϰ. Однако значение левой части равенства (4) останется тем же, что и раньше, потому что это изменение приводит к добавлению в левой части (4) члена
𝑛ϰ
⎡
⎢
⎣
∬
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
∇²Φ
𝑑ς
⎤
⎥
⎦
,
который, согласно Теореме III из п. 21, равен нулю.
96 в. Если область ς двухсвязная или многосвязная, то её можно свести к односвязной области, замкнув каждый её контур диафрагмой (что позволит применить рассматриваемую теорему к области, ограниченной поверхностью области ς, а также положительной и отрицательной сторонами диафрагмы).
Пусть 𝑠1 - одна из этих диафрагм, а ϰ1, - соответствующая циклическая постоянная, т. е. приращение при однократном обходе по контуру в положительном направлении. Поскольку область ς расположена по обе стороны от диафрагмы 𝑠1, то каждый элемент 𝑠1 войдёт дважды в поверхностный интеграл.
Пусть нормаль ν1 проведена в положительную сторону 𝑑𝑠1 a ν'1 - в отрицательную. Тогда (𝑑Φ/𝑑ν'1) = -(𝑑Φ/𝑑ν1) и Ψ'1=Ψ1+ϰ1, и так что элемент поверхностного интеграла, обусловленный 𝑑𝑠1, будет равен
Ψ
1
𝑑Φ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
-
Ψ'
1
𝑑Φ
𝑑ν'1
𝑑𝑠
1
=
-ϰ
𝑑Φ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
,
поскольку 𝑑ν1 - элемент внутренней нормали к положительной поверхности.
Таким образом, если область s многосвязная, то первая часть уравнения (4) запишется в виде
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
ϰ
1
∬
𝑑Φ
𝑑ν1
𝑑𝑠
1
-…-
ϰ
𝑛
∬
𝑑Φ
𝑑ν𝑛
𝑑𝑠
𝑛
-
-
∭
Ψ∇²Φ
𝑑ς
,
(4a)