97 а. Следуя Грину, применим этот вариант Теоремы Грина для определения поверхностной плотности распределения, создающего потенциал, значения которого заданы внутри и вне заданной замкнутой поверхности. Эти значения должны совпадать на поверхности; внутри поверхности ∇²Ψ=0, а вне неё ∇²Ψ'=0, где Ψ и Ψ' означают потенциалы внутри и вне поверхности.
Грин начинает с прямой задачи, когда задано распределение поверхностной плотности σ а потенциалы во внутренней точке 𝑃 и во внешней точке 𝑃' находятся интегрированием:
Ψ
𝑃
=
∬
σ
𝑟
𝑑𝑠
,
Ψ'
𝑃'
=
∬
σ
𝑟'
𝑑𝑠
,
(9)
где 𝑟 и 𝑟' соответственно расстояния от точек 𝑃 и 𝑃'.
Полагая Φ=1/𝑟 и применив Теорему Грина к объёму внутри поверхности с учётом того, что ∇²Φ=0 и ∇²Ψ=0 в области интегрирования, получим
∬
Ψ
𝑑𝑟-1
𝑑ν'
𝑑𝑠
-
4πΨ
𝑃
=
∬
1
𝑟
𝑑Ψ
𝑑ν'
𝑑𝑠
,
(10)
где Ψ𝑃 - значение Ψ в точке 𝑃.
Применим ещё раз эту теорему к объёму, ограниченному поверхностью 𝑠 и охватывающей её поверхностью на бесконечно большом расстоянии 𝑎. Вклад в поверхностный интеграл от бесконечно удалённой поверхности будет порядка 1/𝑎 и может быть опущен, откуда
∬
Ψ'
𝑑𝑟-1
𝑑ν'
𝑑𝑠
=
∬
1
𝑟
𝑑Ψ'
𝑑ν
𝑑𝑠
.
(11)
Но на поверхности Ψ=Ψ, а поскольку нормали ν и ν' направлены в противоположные стороны, то
𝑑𝑟-1
𝑑ν
𝑑𝑠
+
𝑑𝑟-1
𝑑ν'
𝑑𝑠
=
0.
Таким образом, при сложении уравнений (10) и (11) члены в левой части сократятся, и мы получим
-4πΨ
𝑃
=
∬
1
𝑟
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑ν'
+
𝑑Ψ'
𝑑ν
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑠
.
(12)
97 б. Грин показал также, что при произвольно заданном потенциале Ψ в каждой точке замкнутой поверхности 𝑠 можно найти потенциал в любой точке внутри и вне поверхности, если ∇²Ψ=0 вне и внутри поверхности.
Для этого он выбрал функцию Φ такой, что вблизи точки 𝑃 она близка к 1/𝑟, а на поверхности 𝑠 равна нулю, причём в каждой точке внутри поверхности ∇²Φ=0.
Существование такой функции Грин доказывает из физических соображений: если представить себе, что 𝑠 - проводящая заземлённая поверхность, а в точке 𝑃 находится единичный заряд, то соответствующий потенциал удовлетворял бы приведённым условиям. Действительно, если поверхность 𝑠 заземлена, то потенциал в каждой её точке должен равняться нулю, а поскольку потенциал создан зарядом в точке 𝑃 и наведёнными зарядами на 𝑠, то ∇²Φ=0 во всех точках внутри поверхности.
Применяя к этому случаю Теорему Грина, получим
4πΨ
𝑃
=
∬
Ψ
𝑑Φ
𝑑ν'
𝑑𝑠
,
(13)
где Ψ под интегралом означает заданное значение потенциала на элементе поверхности 𝑑𝑠. Если σ𝑃 - плотность электричества, наведённого единичным зарядом в точке 𝑃, то
4πσ
𝑃
+
𝑑Φ
𝑑ν'
=
0
(14)
и уравнение (13) можно переписать в виде
Ψ
𝑃
=
-
∬
𝑃σ
𝑑𝑠
,
*
(15)
* По изданию Dover Publication 0-486-60636-8 1954 г. Ψ𝑃=-∬Ψσ𝑑𝑠
где σ - поверхностная плотность электричества, индуцированная на 𝑑𝑠 единичным зарядом в точке 𝑃.
Таким образом, если значение σ известно в каждой точке поверхности для данного положения точки 𝑃, то мы можем рассчитать простым интегрированием потенциал в точке 𝑃 при заданном потенциале в каждой точке поверхности и при условии ∇²Ψ=0 внутри поверхности.
Ниже мы покажем, что если мы нашли решение Ψ, удовлетворяющее этим условиям, то оно единственно.
Функция Грина
98. Пусть замкнутая поверхность s находится под нулевым потенциалом. Пусть 𝑃 и 𝑄 - две точки с положительной стороны от поверхности 𝑠 (мы можем принять за положительную как внутреннюю, так и внешнюю сторону) и пусть в точке 𝑃 находится небольшое тело, несущее единичный заряд. Тогда потенциал в точке 𝑄 состоит из двух частей; одна часть вызывается непосредственным действием заряда в точке 𝑃, другая - обусловлена действием заряда, индуцированного на поверхности 𝑠 зарядом в 𝑃. Эта вторая часть потенциала называется Функцией Грина и обозначается через 𝐺𝑝𝑞.