Функция Грина зависит от положения двух точек 𝑃 и 𝑄; вид функции зависит от формы поверхности 𝑠. Она была рассчитана для сферической поверхности и ещё для нескольких других случаев. Функция Грина даёт потенциал в точке 𝑄, создаваемый электричеством, наводимым на поверхности 𝑠 единичным зарядом в точке 𝑃.
Фактический потенциал в точке 𝑄, создаваемый зарядом в точке 𝑃 и наводимыми им зарядами на 𝑠, равен 1/𝑟𝑝𝑞+𝐺𝑝𝑞, где 𝑟𝑝𝑞 - расстояние от 𝑃 до 𝑄.
На поверхности 𝑠 и во всех точках по отрицательную сторону от 𝑠 потенциал равен нулю, так что
𝐺
𝑝𝑎
=
-(1/𝑟
𝑝𝑎
)
,
(1)
где индекс 𝑎 показывает, что вместо точки 𝑄 взята точка 𝐴 на поверхности 𝑠.
Если обозначить через σ𝑝𝑎' поверхностную плотность в точке 𝐴' на поверхности 𝑠, то, поскольку 𝐺𝑝𝑞 является потенциалом, создаваемым в точке 𝑄 поверхностным распределением,
𝐺
𝑝𝑞
=
∬
(σ
𝑝𝑎'
/𝑟
𝑞𝑎'
)
𝑑𝑠'
,
(2)
где 𝑑𝑠' -элемент поверхности 𝑠 у точки 𝐴', и интегрирование производится по всей поверхности 𝑠.
Если бы единичный заряд был расположен в точке 𝑄, то, согласно (1), мы имели бы
(1/𝑟
𝑝𝑎'
)
=-
𝐺
𝑝𝑎'
(3)
=-
∬
(σ
𝑞𝑎
/𝑟
𝑎𝑎'
)
𝑑𝑠
,
(4)
где σ𝑞𝑎 -плотность в точке 𝐴 наводимая единичным зарядом в 𝑄, 𝑑𝑠 - элемент поверхности, а 𝑟𝑎𝑎' -расстояние между точками 𝐴 и 𝐴'. Подставляя это значение 1/𝑟𝑎𝑎' в выражение для 𝐺𝑝𝑞, получим
𝐺
𝑝𝑞
=-
∬∬
σ𝑞𝑎σ𝑞𝑎'
𝑟𝑎𝑎'
𝑑𝑠
𝑑𝑠'
.
(5)
Поскольку это выражение не меняется от перестановки индексов 𝑞 и 𝑝, мы заключаем, что
𝐺
𝑝𝑞
=
𝐺
𝑞𝑝
.
(6)
К этому результату мы пришли ещё в п. 86, но теперь мы видим, что он выводится математически методом, позволяющим рассчитать функцию Грина.
Предположим, что у нас имеется произвольное распределение электричества, и поместим в поле точечный единичный заряд. Пусть поверхность нулевого потенциала полностью отделяет эту точку от имеющегося распределения заряда. Тогда, приняв эту поверхность за поверхность 𝑠, а точку - за точку 𝑃, получим, что функция Грина для любой точки с той же стороны поверхности, что и 𝑃, будет совпадать с потенциалом распределения электричества, существующего по другую сторону поверхности. Таким способом можно построить сколько угодно примеров, позволяющих найти функцию Грина для частных случаев расположения точки 𝑃. Значительно труднее найти вид функции при заданной поверхности s и при произвольном положении точки 𝑃, хотя, как мы показали, математически это возможно.
Предположим, что эта задача решена, и что точка 𝑃 находится внутри поверхности. Тогда во всех точках вне поверхности потенциал поверхностного распределения равен и противоположен по знаку потенциалу точки 𝑃. Таким образом, поверхностное распределение центробарично 4 и его действие во всех внешних точках эквивалентно действию единичного положительного заряда в точке 𝑃.
4 Thomson and Tait, Natural Philosophy, § 526.
99 а. Если положить в Теореме Грина Ψ=Φ, то мы получим
∬
Ψ
𝑑Ψ
𝑑ν
𝑑𝑠
-
∭
Ψ∇²Ψ
𝑑ς
=
∭
(∇Ψ)²
𝑑ς
.
(16)
Если Ψ - потенциал распределения заряда в пространстве с объёмной плотностью ρ и на проводниках с поверхностями 𝑠1 𝑠2 и т. д., имеющих потенциалы Ψ1, Ψ2 и т. д., с поверхностной плотностью σ1, σ2 и т. д., то