𝑑Ψ2
𝑑𝑥
+
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
𝑑Ψ2
𝑑𝑦
+
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
𝑑Ψ2
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
(25)
По Теореме Грина последнее выражение можно написать в виде
1
4π
∭
Ψ
2
∇²Ψ
1
𝑑ς
-
1
4π
∬
Ψ
2
𝑑Ψ1
𝑑ν
𝑑𝑠
.
(26)
Объёмный интеграл обращается в нуль, так как ∇²Ψ1=0 внутри поверхности, а поверхностный интеграл равен нулю, потому что на поверхности Ψ2=0. Таким образом, уравнение (25) принимает вид
𝑊
=
𝑊
1
+
𝑊
2
.
(27)
Но подынтегральное выражение в интеграле 𝑊2 представляет собой сумму трёх квадратов и не может быть отрицательно, так что сам интеграл может быть либо положительным, либо нулём. Итак, если 𝑊2 не равно нулю, то оно положительно, и, следовательно, 𝑊 больше 𝑊1. Если 𝑊2 равно нулю, то каждое слагаемое под интегралом должно быть равно нулю, т. е. (𝑑Ψ2/𝑑𝑥)=0, (𝑑Ψ2/𝑑𝑦)=0, (𝑑Ψ2/𝑑𝑧)=0 во всех точках внутри поверхности, а Ψ2 постоянно внутри поверхности. Но на поверхности Ψ2=0, значит, оно равно нулю и в любой точке внутри поверхности, т. е. Ψ=Ψ1, так что, если 𝑊 не больше 𝑊1, то Ψ должно совпадать с Ψ1 во всех точках внутри поверхности.
Отсюда следует, что Ψ1 - единственная функция от 𝑥, 𝑦, 𝑧, равная Ψ на поверхности и удовлетворяющая уравнению Лапласа внутри поверхности.
Если бы этим условиям удовлетворяла какая-нибудь другая функция Ψ3, то 𝑊3 должно было бы быть меньше любого другого значения 𝑊. Но мы уже показали, что 𝑊1 меньше любого другого значения, а следовательно, и меньше 𝑊3. Следовательно, никакая функция, отличная от Ψ1, не может удовлетворять этим условиям.
Ниже мы увидим, что наиболее часто встречается случай, когда поле ограничено одной внешней поверхностью 𝑠 и некоторым числом внутренних поверхностей 𝑠1, 𝑠2 и т. д., причём принимает нулевое значение на 𝑠 и постоянные на каждой поверхности значения: Ψ1 на 𝑠1, Ψ2 на 𝑠2 и т. д., как для системы проводников с заданными потенциалами.
Из всех функций Ψ, удовлетворяющих этим условиям, 𝑊ψ минимально для той функции, которая для каждой точки в поле удовлетворяет условию ∇²Ψ=0.
Теорема Томсона
Лемма
100 а. Пусть Ψ - произвольная функция 𝑥, 𝑦, 𝑧, конечная и непрерывная внутри замкнутой поверхности 𝑠 и принимающая на некоторых замкнутых поверхностях 𝑠1, 𝑠2, …, 𝑠𝑝, … значения Ψ1, Ψ2, …, Ψ𝑝, …, постоянные на каждой поверхности.
Пусть 𝑢, 𝑣, 𝑤 - функции 𝑥, 𝑦, 𝑧, которые мы можем рассматривать как составляющие вектора ℭ, удовлетворяющего условию соленоидальности
-𝑆.∇ℭ
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
=
0.
(28)
Положим в Теореме III
𝑋
=
Ψ𝑢
,
𝑌
=
Ψ𝑣
,
𝑍
=
Ψ𝑤
.
(29)
В результате этих подстановок получим
∑
𝑝
∬
Ψ
𝑝
(
𝑙
𝑝
𝑢
+
𝑚
𝑝
𝑣
+
𝑛
𝑝
𝑤
)
𝑑𝑠
𝑝
+
+
∭
Ψ
⎛
⎜
⎝
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑦
+
𝑑𝑤
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
+
+
∭
⎛
⎜
⎝
𝑢
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝑣
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝑤
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
0;
(30)
где поверхностные интегралы берутся по различным поверхностям, объёмные интегралы - по всему полю, а 𝑙𝑝, 𝑚𝑝, 𝑛𝑝 - направляющие косинусы нормали к поверхности 𝑠𝑝 в сторону поля. Первый объёмный интеграл равен нулю вследствие соленоидальности 𝑢, 𝑣, 𝑤, а поверхностные интегралы равны нулю в следующих случаях: