Таким образом, если диэлектрическая среда является консервативной системой (а мы знаем, что это так, потому что её энергия может сохраняться неограниченно долго), то 𝑘𝑥𝑦=𝑘𝑦𝑥 т.е. φ-1 - самосопряжённая функция.
Отсюда следует, что и φ - самосопряжённая функция, т. е. 𝐾𝑥𝑦=𝐾𝑦𝑥.
101 ж. Следовательно, выражение для энергии можно представить в любой из следующих форм:
𝑊
𝔈
1
8π
=
∭
[
𝐾
𝑥𝑥
𝑃²
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑄²
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑅²
+
2𝐾
𝑦𝑧
𝑄𝑅
+
+
2𝐾
𝑧𝑥
𝑅𝑃
+
2𝐾
𝑥𝑦
𝑃𝑄
]
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
.
или
𝑊
𝔇
=
2π
∭
[
𝑘
𝑥𝑥
ƒ²
+
𝑘
𝑦𝑦
𝑔²
+
𝑘
𝑧𝑧
𝘩²
+
2𝑘
𝑦𝑧
𝑔𝘩
+
+
2𝑘
𝑧𝑥
𝘩ƒ
+
2𝑘
𝑥𝑦
ƒ𝘩
]
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где индекс указывает на вектор, через который выражается 𝑊. Если индекс не указан, то подразумевается, что энергия выражена через оба вектора.
Таким образом, мы имеем всего шесть различных выражений для энергии электрического поля. Три из них содержат заряды и потенциалы поверхностей проводников и приведены в п. 87. Три других выражения являются объёмными интегралами по всему электрическому полю и содержат составляющие электродвижущей напряжённости, или электрического смещения, или и те и другие.
Поэтому первые три интеграла относятся к теории взаимодействия на расстоянии, а три последних - к теории воздействия через посредство промежуточной среды. Их можно представить в виде
𝑊
=-
1
2
∭
𝑆.𝔇𝔈
𝑑ς
,
𝑊
𝔈
=-
2π
∭
𝑆.𝔈φ(𝔈)
𝑑ς
,
𝑊
𝔇
=-
1
8π
∭
𝑆.𝔇φ
-1
(𝔇)
𝑑ς
.
101 з. Чтобы обобщить Теорему Грина на случай неоднородной анизотропной среды, достаточно лишь положить в Теореме III, п. 21,
𝑋
=
Ψ
⎡
⎢
⎣
𝐾
𝑥𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑥𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑥𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
,
𝑌
=
Ψ
⎡
⎢
⎣
𝐾
𝑦𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
,
𝑍
=
Ψ
⎡
⎢
⎣
𝐾
𝑧𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
,
и мы получим
∬
Ψ
⎡
⎢
⎣
(
𝐾
𝑥𝑥
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑥
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑥
𝑛
)
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
(
𝐾
𝑥𝑦
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑛
)
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
+
(
𝐾
𝑥𝑧
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑛
)
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑠
-
-
∭
Ψ
⎡
⎢
⎣
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑥𝑥