𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑥𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑥𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑦𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑧𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=
∭
⎡
⎢
⎣
𝐾
𝑥𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑧
+
+
𝐾
𝑦𝑧
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑧
+
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑦
⎞
⎟
⎠
+
𝐾
𝑧𝑥
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
𝑑Φ
𝑑𝑥
+
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝐾
𝑥𝑦
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
𝑑Φ
𝑑𝑦
+
𝑑Ψ
𝑑𝑦
𝑑Φ
𝑑𝑥
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
=
=
∬
Φ
⎡
⎢
⎣
(
𝐾
𝑥𝑥
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑥
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑥
𝑛
)
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
(
𝐾
𝑥𝑦
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑛
)
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
(
𝐾
𝑥𝑧
𝑙
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑚
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑛
)
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑠
-
-
∬
Φ
⎡
⎢
⎣
𝑑
𝑑𝑥
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑥𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑥𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑥𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑
𝑑𝑦
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑦𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑦𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑦𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑
𝑑𝑧
⎛
⎜
⎝
𝐾
𝑧𝑥
𝑑Ψ
𝑑𝑥
+
𝐾
𝑧𝑦
𝑑Ψ
𝑑𝑦
+
𝐾
𝑧𝑧
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
,
где 𝑙, 𝑚, 𝑛 - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности (следует помнить, что порядок индексов в коэффициентах безразличен).
В кватернионных обозначениях эти соотношения записываются короче:
∬
Ψ𝑆.𝑈νφ(∇Φ)
𝑑𝑠
-
∭
Ψ𝑆.{∇φ(∇Φ)}
𝑑ς
=
=
∭
𝑆.∇Ψφ(∇Φ)
𝑑ς
=-
∭
𝑆.∇Φφ(∇Ψ)
𝑑ς
=
=
∬
Φ𝑆.𝑈νφ(∇Ψ)
𝑑𝑠
=-
∭
Φ𝑆.{∇φ(∇Ψ)}
𝑑ς
.
Границы возможных значений электрической ёмкости проводника