102 а. Мы уже определили ёмкость проводника или системы проводников как заряд этого проводника или системы проводников при сообщении им единичного потенциала и при нулевом потенциале всех остальных проводников, находящихся в поле.
Излагаемый ниже метод определения предельных значений, между которыми должно находиться значение ёмкости проводника, был предложен Дж. У. Стреттом в его работе «О теории резонанса», Phil. Trans., 1871, Art. 306.
Пусть 𝑠1 - поверхность проводника или системы проводников, ёмкость которых следует определить, a 𝑠0 - поверхность всех остальных проводников. Пусть потенциал 𝑠1 равен Ψ1 потенциал 𝑠0 равен Ψ0. Если заряд на 𝑠1 равен 𝑒1 то заряд на 𝑠0 равен -𝑒1.
Ёмкость 𝑝 проводника 𝑠1 равна
𝑞
=
𝑒
1
/(Ψ
1
-Ψ
0
)
.
(1)
Если 𝑊 - энергия системы при фактическом распределении заряда, то
𝑊
=
𝑒
1
(Ψ
1
-Ψ
0
)/2
,
(2)
так что
𝑞
=
2𝑊
(Ψ1-Ψ0)²
=
𝑒1²
2𝑊
.
(3)
Чтобы найти верхнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую функцию Ψ равную 1 на 𝑠1 и нулю на 𝑠0, и вычислим значение объёмного интеграла
𝑊
Ψ
=
1
8π
∭
⎡
⎢
⎣
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑥
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑦
⎞²
⎟
⎠
+
⎛
⎜
⎝
𝑑Ψ
𝑑𝑧
⎞²
⎟
⎠
⎤
⎥
⎦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(4)
по всему полю.
Поскольку мы показали (в п. 996), что 𝑊 не может превышать 𝑊Ψ, ёмкость 𝑞 не может быть больше 2𝑊Ψ.
Чтобы найти нижнюю границу возможных значений ёмкости, рассмотрим любую систему значений ƒ, 𝑔, 𝘩, удовлетворяющую уравнению
𝑑ƒ
𝑑𝑥
+
𝑑𝑔
𝑑𝑦
+
𝑑𝘩
𝑑𝑧
=
0,
(5)
и пусть
∬
(
𝑙
1
ƒ
+
𝑚
1
𝑔
+
𝑛
1
𝘩
)
𝑑
1
𝑠
=
𝑒
1
.
(6)
Вычислим теперь значение объёмного интеграла
𝑊
𝔇
=
2π
∭
(
ƒ²
+
𝑔²
+
𝘩²
)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑧
(7)
по всему полю.
Поскольку мы показали в п. 100 в, что 𝑊 не может превышать 𝑊𝔇, то ёмкость 𝑞 не может быть меньше
𝑒
1
²
/
(2𝑊
𝔇
)
.
(8)
Проще всего найти совокупность функций ƒ, 𝑔, 𝘩 удовлетворяющую условик соленоидальности, приняв какое-то распределение заряда на 𝑠1 и на 𝑠0 так, чтобы суммарный заряд равнялся нулю, и рассчитав потенциал Ψ, соответствующий: этому распределению, и электрическую энергию такой системы.
Если теперь положить
ƒ
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑥
,
𝑔
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑦
,
𝘩
=-
1
4π
𝑑Ψ
𝑑𝑧
,
то эти значения ƒ, 𝑔, 𝘩 будут удовлетворять условию соленоидальности.
Однако в этом случае можно найти 𝑊𝔇 и не производя объёмного интегрирования. Поскольку для этого решения ∇²Ψ=0 во всех точках поля, то 𝑊𝔇 можно выразить в виде поверхностного интеграла
𝑊
𝔇
=
1
2
∬
Ψσ
1
𝑑𝑠
1
+
1
2
∬
Ψσ
0
𝑑𝑠
0
,
где первый интеграл берётся по поверхности 𝑠1, а второй - по 𝑠0.