Если поверхность 𝑠0 находится на бесконечно большом расстоянии от 𝑠1 то потенциал на ней равен нулю и второй член исчезает.
102 б. Приближённое решение любой задачи о распределении заряда на проводниках с заданными потенциалами может быть получено следующим образом.
Пусть 𝑠1 - поверхность проводника или системы проводников, находящихся под потенциалом 1, а 𝑠0 - поверхность всех остальных проводников, в том числе и полого проводника, охватывающего все остальные. Впрочем, этот последний проводник может в некоторых случаях находиться на бесконечно большом расстоянии от остальных.
Начнём с построения совокупности линий, прямых или кривых, идущих от 𝑠1 к 𝑠0.
Вдоль каждой из этих линий будем считать Ψ меняющимся от 1 на 𝑠1 до 0 на 𝑠0. Если 𝑃 - точка на одной из таких линий (а 𝑠1 и 𝑠0 - точки пересечения линии с поверхностями), то в качестве первого приближения можно положить Ψ1=(𝑃𝑠0/𝑠1𝑠0).
Таким образом, мы получаем первое приближение для функции Ψ1 равной: единице на 𝑠1 и нулю на 𝑠0.
Рассчитанное по Ψ1 значение 𝑊φ больше, чем 𝑊.
Теперь примем в качестве второго приближения для силовых линий
ƒ
=
-𝑝
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
,
𝑔
=
-𝑝
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
,
𝘩
=
-𝑝
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
.
(10)
Вектор с составляющими ƒ, 𝑔, 𝘩 нормален поверхностям постоянного Ψ1. Определим значение 𝑝, потребовав, чтобы вектор ƒ, 𝑔, 𝘩 был соленоидальным. Мы придём к соотношению
𝑝
⎛
⎜
⎝
𝑑²Ψ1
𝑑𝑥²
+
𝑑²Ψ1
𝑑𝑦²
+
𝑑²Ψ1
𝑑𝑧²
⎞
⎟
⎠
+
+
𝑑𝑝
𝑑𝑥
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
+
𝑑𝑝
𝑑𝑦
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
+
𝑑𝑝
𝑑𝑧
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
=
0.
(11)
Если провести от 𝑠1 к 𝑠0 линию, всюду нормальную к поверхностям постоянного Ψ1, и обозначить через 𝑠 длину, отсчитываемую от 𝑠0 по этой линии, то
𝑅
𝑑𝑥
𝑑𝑠
=-
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
,
𝑅
𝑑𝑦
𝑑𝑠
=-
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
,
𝑅
𝑑𝑧
𝑑𝑠
=-
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
,
(12)
где 𝑅 - величина напряжённости, равная -𝑑Ψ1/𝑑𝑠 так что
𝑑𝑝
𝑑𝑥
𝑑Ψ1
𝑑𝑥
+
𝑑𝑝
𝑑𝑦
𝑑Ψ1
𝑑𝑦
+
𝑑𝑝
𝑑𝑧
𝑑Ψ1
𝑑𝑧
=
-𝑅
𝑑𝑝
𝑑𝑠
,
=
𝑅²
𝑑𝑝
𝑑Ψ1
,
(13)
и уравнение (11) принимает вид
𝑝∇²Ψ
=
𝑅²
𝑑𝑝
𝑑Ψ1
,
(14)
откуда
𝑝
=
𝐶 exp
Ψ1
∫
0
∇²Ψ1
𝑅²
𝑑Ψ
1
,
(15)
где интеграл понимается как криволинейный интеграл вдоль линии 𝑠
Предположим теперь, что вдоль линии 𝑠
-
𝑑Ψ2
𝑑𝑠
=
ƒ
𝑑𝑥
𝑑𝑠
+
𝑔
𝑑𝑦
𝑑𝑠
+
𝘩
𝑑𝑧
𝑑𝑠
,
=
-𝑝
𝑑Ψ1
𝑑𝑠
.
(16)
Тогда
Ψ
2
=
𝐶
Ψ
∫
0
⎛
⎜
⎝
exp
∫
∇²Ψ1
𝑅²
𝑑Ψ
1
⎞
⎟
⎠
𝑑Ψ
1
,
(17)
где всегда подразумевается, что интегрирование производится вдоль линии 𝑠.
Остаётся определить постоянную 𝐶 из условия, что Ψ2=1 на 𝑠1 когда и Ψ1=1 т.е.
𝐶
1
∫
0
⎛
⎜
⎝
exp