см
×
𝐇
+
1
4π𝑐
𝐄
×
∂𝐇
∂𝑡
.
(12)
Сравнивая выражение для 𝐟∑ в (12) с максвелловской формулой (С) (где для однозначности подхода нужно сразу же положить ρ𝑚), нетрудно обнаружить, что они отличаются только наличием дополнительного члена в (12)
1
4π𝑐
𝐄
×
∂𝐇
∂𝑡
=-
1
𝑐
𝐣
𝑚
см
×
𝐄
,
(13)
которому может быть придан вид, сходный с лоренцовым, если ввести условно «магнитный ток смещения»:
𝐣
𝑚
см
=
1
4π
∂𝐇
∂𝑡
.
Следовательно, формулы (11) или (12) допускают такую дуально симметричную запись:
div 𝑇⃡
=
𝐟
∑
=
ρ
𝑒
𝐄
+
ρ
𝑚
𝐇
+
1
𝑐
𝐣
𝑚
пол
×
𝐇
-
1
𝑐
𝐣
𝑒
пол
×
𝐄
.
Причина отсутствия у Максвелла добавочного члена (13) отчасти раскрывается в п. 641-643, где он выводит выражение для механической силы, дифференцируя тензор напряжений (его магнитную часть), и проводит соответствующие обобщения на переменные во времени процессы. Воспроизведём это вычисление в наших обозначениях. Если в магнитостатике задан тензор
𝑇
𝑚
αβ
=
1
4π
𝐻
α
𝐻
β
-
1
4π
δ
αβ
𝐻²
,
то его дивергенция равна
∂𝑇
𝑚
αβ
∂𝑥
β
=
1
4π
∂
𝑥β
𝐻
α
𝐻
β
-
1
8π
∂
𝑥β
δ
αβ
𝐇²
=
1
4π
𝐻
β
∂𝐻α
𝑥β
+
1
4π
𝐻
α
∂𝐻β
𝑥β
-
1
8π
∇
α
𝐇²
=
=
1
4π
(𝐇∇)
𝐻
α
+
1
4π
𝐻
α
div 𝐇
-
1
8π
∇
α
𝐇²
.
(14)
Здесь по дважды встречающимся индексам проводится суммирование
⁔
β,β
≡
3
∑
β=1
.
Приняв во внимание тождество
∇𝐇²
=
2(𝐇∇)𝐇
+
2𝐇
×
rot 𝐇
,
можно соотношению (14) придать окончательный (для случая магнитостатики) вид:
div 𝑇⃡
𝑚
=-
1
4π
𝐇
×
rot 𝐇
+
1
4π
𝐇 div 𝐇
=
1
𝑐
𝐣
𝑒
пр
×
𝐇
.
(15)
Именно эта формула и приводится Максвеллом в п. 642-644. Обобщение состоит в замене 𝐣𝑒пр→𝐣𝑒пр+𝐣𝑒см. Таким образом, уравнение (22) п. 644 подтверждает итоговое уравнение (С).
Однако в переменных полях соотношение (15) следует сложить с двойственным ему соотношением для электрической части тензора напряжений
div 𝑇⃡
𝑒
=
1
4π
𝐄 div 𝐄
-
1
4π
𝐄× rot 𝐄
=
ρ
𝑒
𝐄
+
1
4π𝑐
𝐄×
∂𝐇
∂𝑡
(16)
и в результате взамен максвелловской формулы (С) получить выражение (12).
Конечно, с помощью современного оперативного формализма, следуя Хевисайду, восстановление дуальной симметрии в выражении для силы (15) и (16) выглядит почти как очевидное. Но следует напомнить, что в «Трактате» вопрос о симметрии не обсуждался в столь общей постановке и, более того, его выяснение было отчасти затруднено отсутствием выписанного в явном виде уравнения (2). Вполне возможно, что это было причиной ненаписания последнего члена в (12) и (16).
Заметим в конце, что мы ограничились здесь комментированием только основных уравнений в их «итоговом» приведении (А)-(γ). Однако в тексте «Трактата» имеется несколько важных разбросанных замечаний, позволивших впоследствии обобщить эти уравнения на случай движущихся сред при наличии конвективных токов и т.д.
6. Незавершённость
Когда выстраивается новая система взглядов, охватывающая все явления ранее считавшиеся независимыми, разрозненными, как-то несправедливо говорить о незавершённости монографии, где впервые дано последовательное изложение основ теории и где не только установлены её общие уравнения, но и приоткрыты тайны «феномена осенения» - скачка мысли в направлении, показавшемся сначала просто правильным, а потом оказавшемся единственно правильным. И всё же в отличие от «Начал» Ньютона - а максвелловский «Трактат» может быть отнесён по некоторым критериям к следующей за ними вехе в истории познания мира (заметим, кстати, что по-латыни они не «Начала», а «Принципы», т. е. главные положения) - в «Трактате» нет такого широкого панорамного разворота применений найденных уравнений. Максвелл прожил недолгую жизнь (1831- 1879) и до самой кончины, даже в последней болезни продолжал работать над «Трактатом», так что при других, более благоприятных, стечениях обстоятельств мы могли бы унаследовать от него второе издание «Трактата», как принято сейчас писать, полностью переработанное и улучшенное. Он, конечно же, не успел воспользоваться всеми плодами своих уравнений и в продвижении по «дедуктивному спуску» ограничился лишь некоторыми демонстрациями. Но это были впечатляющие примеры.
Прежде всего, уравнениям подчинились все законы электростатических, магнитостатических, стационарно-токовых и квазистационарных полей и стало возможным понять точность соответствующих приближений. Далее, Максвелл извлёк из найденных им уравнений несомненно наиболее представительное решение для произвольно быстрого изменения полей во времени и пространстве - плоские электромагнитные волны в однородной среде, распространяющиеся со скоростью света и способные переносить энергию и импульс. Это был Триумф Великого Объединения - электричества, магнетизма и оптики, предсказанного ещё Фарадеем. И, как мы понимаем теперь, гакие решения можно воспринимать как фундаментальные: их суперпозиция (в линейном случае) даёт любое распределение поля, удовлетворяющее уравнениям Максвелла, так что в известном смысле оба описания - через уравнения или через совокупность фундаментальных решений - эквивалентны. Наконец, Максвелл наметил схему объяснения «воздействия магнетизма на свет», т.е. фарадеевского эффекта вращения плоскости поляризации в замагниченной среде - прообраза будущих параметрических и нелинейных электромагнитных эффектов.