Теория отношений была самым древним решением проблемы иррациональных чисел, а метод исчерпывания позволил ему решать задачи нахождения площадей и объемов, напримерплощади круга, пропорциональной квадрату его диаметра, и объема пирамиды, который равен трети призмы с таким же основанием и такой же высотой. Большой интерес представляют определения 3 и 4. Выражение «некоторая зависимость» не имеет смысла. К тому же Евклид пишет об отношении по количеству, которого в случае несоизмеримости не существует. Четвертое определение заслуживает более пристального анализа:
Величины имеют отношение между собой, если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.
Это определение устанавливает, при каких условиях две величины «имеют отношение между собой»; если они не выполнены, между ними не будет отношения. Сравним это определение со следующими.
Утверждение
Определение
Две прямые параллельны друг другу,
если они, продленные бесконечно, не встречаются.
Одна прямая перпендикулярна другой,
если при их пересечении образуются прямые углы.
Две величины имеют отношение между собой,
если они, взятые кратно, могут превзойти друг друга.
Число является простым,
если измеряется только единицей.
Два числа простые между собой,
если их единственная общая часть — единица.
ПОНЯТИЕ ПРОПОРЦИИ
Для математика не так важен онтологический аспект («что это?»), сколько методологический («как это работает?»). Следовательно, его интересует, одинаковы два соотношения, или одно больше другого, даже если ему и не совсем ясно, что такое, собственно, соотношение. Именно об этом говорится в определениях 5, 6 и 7.
Определение 5. Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвертой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, или одновременно равны, или одновременно меньше равнократных второй и четвертой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответственном порядке.
Определение 6. Величины же, имеющие то же отношение, пусть называются пропорциональными.
Определение 7. Если же из равнократных кратное первой превышает кратное второй, а кратное третьей не превышает кратного четвертой, то говорят, что первая ко второй имеет большее отношение, чем третья к четвертой.
Возьмем две пары однородных величин: А — В и Г — Δ (термин «однородные» нигде не объясняется, но очевидно, что имеются в виду две поверхности, два числа, два тела и так далее; напротив, линия, число и тело будут неоднородными величинами). Каждая пара образует соотношение, которое мы запишем как
А/B и Г/Δ.
Возникает вопрос: в каком случае мы можем сказать, что
А/B = Г/Δ, а когда А/B > Г/Δ ?
Теперь возьмем два произвольных множителя: множитель т для А и Г и n для В и А. При этом m х А и n х В — однородные величины, значит, их можно сравнивать; то же верно и для m х Г и n х Δ.
Следовательно, каково бы ни было значение множителей тип, каждый раз, когда мы имеем
то имеем и
То есть А/B = Г/Δ
Если же у нас такая пара множителей при которых
m х A > n х B, но m х Г < n х Δ,то
А/B > Г/Δ
Из-за чего Евклиду понадобилось такое сложное определение? Из-за несоизмеримости. Рассмотрим одно и то же предложение в двух разных случаях: в первом отрезки будут соизмеримы, а во втором — нет.
Книга VI, предложение 1. Треугольники и параллелограммы, имеющие одинаковую высоту, относятся друг к другу как их основания.
Рассмотрим доказательство этого предложения в случае соизмеримости. Если основания двух треугольников соизмеримы, то мы можем использовать общий измеритель для того, чтобы разложить их на равновеликие треугольники методом танграма (см. рисунок).
Если АВ и ΓΔ являются соизмеримыми основаниями двух треугольников, заключенных между одними и теми же параллельными, то существует общий отрезок LM, который делит основание АВ на т количество частей и основание ΓΔ — на п количество частей. Если мы соединим точки концов каждого из т отрезков, на которые LM делит основание АВ с вершиной С, и точки концов каждого из п отрезков, на которые LM делит основание ΓΔ с вершиной Е, то получим, соответственно, тип количество треугольников, равновеликих треугольнику LMN, где N — любая точка, взятая на прямой СЕ, параллельной А. Следовательно, АВС = m х (LMN), ΔΓΕ = m х (LMN). То есть
АВ/ΔΓ = (m х LM)/(n х LM) = (m х (ΔLMN))/(n х (ΔLMN)) = ΔABC/ΔAГ.
РИС. 3
РИС. 4
Но если отрезки АВ и ΓΔ взяты произвольно, мы не можем знать, соизмеримы ли они. Действительно, любой отрезок имеет гораздо больше несоизмеримых ему отрезков, чем соизмеримых. Таким образом, доказательство, изложенное выше, является не общим, а, напротив, сугубо частным случаем. Рассмотрим теперь общее доказательство. Оно будет основано на следующей идее: если метод танграма нельзя применить внутри фигуры, это не значит, что его нельзя применить вне ее. Вместо того чтобы строить общий треугольник и помещать его в каждый из заданных, построим отрезки, равные каждому основанию, и соединим получившиеся точки с вершиной, как показано на рисунке 3. Таким образом, мы получим треугольники, кратные тип раз заданным:
ΔΑ"CΒ = m x (ΔΑCΒ), ΔΝ'" РМ = n x (ΔΝΡΜ).
Не нужно верить никаким предсказаниям, сделанным по гороскопам, основанным на дате рождения. Влияние звезд настолько трудно рассчитать, что на Земле нет никого, кто мог бы это сделать.
Евдокс
Теперь мы должны только убедиться, что из двух треугольников, заключенных между двумя параллельными прямыми (то есть одинаковой высоты), большая площадь — у того, у которого большее основание. Ответ, разумеется, утвердительный (см. рисунок 4). Основание АВ меньше основания ΓΔ. Следовательно, мы можем отложить АВ на ΓΔ (в «Началах» не объясняется понятие большего и меньшего, но интуитивно всегда используется верно: большее — то, что содержит часть, равную меньшему) и построить треугольник, равный АСВ, внутри ΓΕΔ.