P1n/P2n = d21/d22 ,
где n = 2k. Исходя из общего понятия 1 мы имеем
P1n/P2n = d21/d22 = S1/S2,
где S < Р2 и Р2 < S1, что противоречит определению равенства соотношений (книга V, определение 5). Следовательно, первое допущение (1) неверно. Затем Евклид таким же образом рассматривает второе допущение
S1/S2 > d21/d22 (2)
и приходит к выводу, что оно также неверно. Следовательно, отношение должно быть следующим:
S1/d21 = S2/d22
Возникают два вопроса. Откуда Евклид знал, что он должен был доказать? Другими словами, почему он взял соотношение именно между площадями и диаметрами? Он неявно использовал метод доведения до предела, который мы рассмотрели выше? Мы не знаем. С другой стороны, для доказательства (1) Евклид предположил существование площади S < S2, при которой
S1/S = d21/d22 .
Это означает, что при данных площадях S1, d21, d22 он предположил существование «площади S, являющейся четвертой пропорциональной». Однако Евклид доказал ее существование только для трех прямых, а не для трех площадей.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА π
Во второй половине XIX века англичанин Генри Ринд приобрел папирус, датированный примерно 1650 годом до н.э. и названный впоследствии его именем. Этот папирус, в свою очередь, был копией еще более древнего папируса, 1800 года до н.э., и содержал задачи по определению объема цилиндрических силосов для хранения зерна. Его автор, писец Ахмес, хотел узнать площадь круга, лежащего в основании цилиндра, что привело его к определению числа π. В древности его обычно считали равным 3. Однако Ахмес предложил более точное значение π, приблизительно сведя окружность к восьмиугольнику
Дан квадрат, состоящий из девяти частей по сторонам. Разделим его на девять квадратов так, что сторона каждого из них будет равна трем этим частям. Уберем четыре прямоугольных треугольника с вершинами, образующимися при проведении диагонали. Площадь получившегося восьмиугольника будет равна
9² - 4 x (3 x 3)/2 = 81 -18 = 63
частей в квадрате. Построим площадь круга с диаметром, равным девяти частям и 64 частям в квадрате [то есть 64 — квадрат числа]. Значение к при этом приближении будет равно
π = 64/(9/2)² = (16/9)² = 3.16...
Такое значение π, действительное для всех фигур (то есть при любом значении диаметра d), получается при наложении двух плоских фигур — круга и восьмиугольника. Более тысячи лет спустя Архимед, мудрец из Сиракуз, в своем кратком сочинении «Об измерении круга» изложил два новых результата.
Предложение 1. Отношение L/d, возникающее между длиной окружности L и ее диаметром d, будет равно величине, находящейся между 223/71 и 22/7.
Предложение 2. Площадь круга S равна площади прямоугольного треугольника T, катеты которого равны радиусу r круга и длине L его окружности.
В доказательстве предложения 2 Архимед использовал метод исчерпывания, как и Евклид в предложении 2 книги XII. Он предположил, что
(1) S > T, и (2) S < T,
а затем показал: оба варианта ведут к противоречию. Следовательно, S должно непременно равняться Т. Но каким образом он догадался о существовании этого соотношения? Об этом мы никогда не узнаем.
Что касается предложения 1, Архимед использовал длины сторон l6, l12, l24, l48, l96; L6, L24, L12, L48, L96, соответствующих вписанным и описанным многоугольникам с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Для расчета этих длин он предложил итеративный алгоритм, с помощью которого начиная с ln можно было вычислить длину l2n, а с помощью Ln — L2n, где n равно 6. В конце Архимед выразил отношение L96 < L < L96 и пришел к следующему результату:
223/71 < L/d < 22/7
Математик сделал важное наблюдение: соотношение между площадью круга S и радиусом в квадрате r2 и соотношение между длиной L окружности и ее диаметром d=2r равны. Числовое значение этого соотношения обозначается буквой π.
Другими словами, Архимед установил, что
S/r2 = L/d = π
Открытия, совершенные Евдоксом и систематизированные Евклидом, позволяют добиться значительных результатов в изучении круга и окружности. Необходимо также учесть, что Архимед использовал периметры, в то время как в папирусе Ринда и тексте Евклида говорится о площадях.
НЕСБЫТОЧНАЯ МЕЧТА
Решение задачи квадратуры круга «по-гречески», то есть при помощи линейки и циркуля, ускользало от геометров на протяжении нескольких столетий. В 414 году до н. э. афинский драматург Аристофан назвал своего персонажа, который хвалился тем, что построил квадратуру круга, шарлатаном. Но трудности не помешали многим выдающимся математикам делать попытки там, где потерпели поражение предшественники. Николай Кузанский (1401-1464), Оронций Финеус (1494-1555) и Грегуар де Сен-Венсан (1584-1667) опубликовали фантастические методы получения квадратуры круга, которые оказались ложными. В то же самое время Джеймс Грегори (1638-1675) и Иоганн Бернулли (1667-1748) разработали различные способы, позволяющие подойти к решению этой задачи с другой стороны. Немецкий ученый Иоганн Ламберт (1728-1777) первым доказал, что число π является иррациональным. Его соотечественник Фердинанд фон Линдеман (1852-1939) в 1880 году открыл, что π — еще и трансцендентное число, то есть не может быть корнем многочлена с рациональными коэффициентами. Это делало невозможным построение квадратуры круга при помощи только линейки и циркуля. Так пришлось отказаться от решения тысячелетней задачи, а мечты легиона искателей квадратуры круга, среди которых были английский философ Томас Гоббс и даже Наполеон, пошли прахом.
ГЛАВА 7
Арифметика в «Началах»
В «Началах» говорится преимущественно о геометрии.
Однако это сочинение также содержит три книги, написанные под явным влиянием пифагорейской школы и не зависящие от остальных. В них Евклид рассказывает об элементарных результатах теории делимости, в том числе о знаменитом алгоритме нахождения наибольшего общего делителя.
Для того чтобы понять книги VII, VIII и IX, необходимо владеть некоторыми основными понятиями. В книге VII Евклид дает все арифметические определения, которыми пользуется позже, но не представляет ни одного постулата. Самыми важными определениями являются следующие.