Как Гёдель и Коэн доказали это? Обозначим • абстрактную числовую операцию и предположим, что она удовлетворяет двум аксиомам:
— аксиома 1: операция коммутативна, то есть a • b = b • а;
— аксиома 2: у операции есть нейтральный элемент, то есть такой, что при операции с ним не происходит никаких изменений (если этот нейтральный элемент назвать е, то а • е = а).
Моделью назовем любой конкретный пример, любую специфическую операцию, выполняющую эти аксиомы. Например, сумма целых чисел — это модель, поскольку сумма коммутативна и имеет нейтральный элемент (то есть 0). Произведение целых чисел — также модель, поскольку эта операция также коммутативна и имеет нейтральный элемент (то есть 1). Вычитание целых чисел, наоборот, не является моделью, поскольку оно некоммутативно (например, 2 - 3 — не то же самое, что 3-2).
На основе этих аксиом можно синтаксически (согласно терминологии из предыдущей главы) доказать, что не может быть двух различных нейтральных элементов. То есть если е и е' — элементы, удовлетворяющие аксиоме 2, то обязательно е = е'. Доказательство состоит в следующем: предположим, что для e и e' верна аксиома 2. Тогда, так как е — нейтральный элемент, е • е' = е' (при операциях с е не происходит никаких изменений). Но е также нейтральный элемент, тогда e' • е = е (при операциях с е' не происходит никаких изменений). Получается, что:
е = е' • е = е • e' = е', следовательно, е = е'.
Любое утверждение, выводимое из аксиом, обязательно будет справедливо во всех моделях, потому что это же самое доказательство воспроизводимо на каждом конкретном примере. Следовательно, в любом примере, выполняющем аксиомы 1 и 2, окажется, что нейтральный элемент операции является единственным. Это происходит, конечно же, в случае суммы (где нет другого нейтрального элемента, кроме 0) и произведения (где единственный нейтральный элемент — 1).
Теперь назовем поглощающим такое число ƒ, что при операциях с ним результат вновь дает ƒ(то есть а • ƒ = ƒ), и рассмотрим утверждение Р "у операции есть поглощающий элемент". Вопрос: можно ли вывести Р из аксиом 1 и 2? Можно ли вывести отрицание Р? Из того факта, что операция коммутативна и имеет нейтральный элемент, можем ли мы вывести, обладает она поглощающим элементом или нет?
Сверху — аксиомы коммутативной операции с нейтральным элементом. Слева внизу — пример, выполняющий эти аксиомы, но не имеющий поглощающего элемента. Справа внизу — пример, в котором имеется поглощающий элемент. Следовательно, существование или отсутствие поглощающего элемента не может быть выведено из аксиом из верхней части схемы.
Если бы существование поглощающего элемента было доказуемым на основе аксиом, то любая коммутативная операция с нейтральным элементом обладала бы поглощающим элементом. Однако это не так, поскольку у суммы, коммутативной операции с нейтральным элементом, нет поглощающих элементов. Следовательно, утверждение Р недоказуемо на основе аксиом 1 и 2.
А если бы отсутствие поглощающего элемента было доказуемым, то ни одна операция, выполняющая аксиомы 1 и 2, не имела бы поглощающих элементов. Однако у произведения целых чисел он есть, поскольку 0 — поглощающий элемент, так что отрицание Р также недоказуемо на основе аксиом. Существование или отсутствие поглощающего элемента не может быть ни доказано, ни опровергнуто на основе аксиом 1 и 2 (см. схему на этой странице).
Гёдель приводит подобные рассуждения в своей второй статье по теории относительности, чтобы опровергнуть факт, утверждаемый Джеймсом Джинсом, о том, что в рамках теории относительности можно определить понятие абсолютного времени. Гёдель отвечает ему, что поскольку он нашел модели теории, в которых этого понятия не существует, невозможно вывести из уравнений Эйнштейна обязательного существования абсолютного времени.
Вернемся к проблеме Кантора. Способ, которым Гёдель и Коэн доказали, что континуум-гипотеза неразрешима на основе аксиом теории множеств, подобен способу, которым мы воспользовались для доказательства неразрешимости Р относительно аксиом 1 и 2. В статьях 1938 и 1939 годов, а также более детально в книге 1940 года Гёдель демонстрирует модель, выполняющую аксиомы теории множеств, для которой континуум-гипотеза верна. В этой модели нет множеств с промежуточными кардинальными числами между N и R — подобно тому, как мы нашли модель, в которой нет поглощающих элементов. Это доказывает, что СН не может быть опровергнута (если бы ее можно было опровергнуть на основе аксиом, она была бы ложной во всех моделях).